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SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION chapter-end-2

教师整合版 / 沪教版高中数学

章末阅读、内容提要与复习题.

必修第一册
第2章等式与不等式 · 保留教材主线与原题

1 个阅读模块0 个例题28 道练习与习题
chapter-end-2

章末阅读、内容提要与复习题

教材与正式教参整合

调和平均值与算术平均值不等式

船速一定的汽船, 在静水中和有流速的河中往返航行同样的距离, 所需的时间是否一样？有人认为二者所需的时间是一样的, 他们的理由是: 当河水有流速时, 汽船逆流上行虽然速度要减慢，但回来时顺流下行的速度要加快，二者互相补偿，航行时间就应和在静水中往返一次所需的时间一样.

上面的说法貌似有理，但事实却并非如此. 为说明这一点，只需做一下简单的计算就可以了. 设汽船在静水中航行的速度为 ,河水的流速为 ,汽船在河流中航行的单程距离为 . 那么汽船逆流上行的实际速度是 ,而顺流下行的实际速度是 . 这样汽船往返一次所需的总时间是

它总是大于汽船在静水中往返一次的时间 ,且河水流速愈大,二者的差距愈大.

由上式, 我们可以看到, 汽船在有流速的河中行驶的平均速度是

正是汽船在静水中航行的速度. 注意到

就说明调和平均值总小于等于算术平均值.

事实上,对此有一个一般性的结论: 对任意给定的两个正数 ,已知 为其算术平均值,并定义 为其调和平均值 (harmonic mean),就有

且等号当且仅当 时成立,即调和平均值必小于等于算术平均值.

历史上著名的迈克耳孙-莫雷实验(1887 年)正是利用上述原理而设计的. 过去人们认为光既然是一种波, 而波的传播是需要媒介的, 如声波的传播需要空气做媒介, 水波的传播需要水做媒介等，因此光的传播也需要有媒介．但光是能够在真空中传播的，因此人们想象整个宇宙空间(包括真空)中充满了一种作为光传播媒介的神秘物质——以太. 当地球以 的速度绕太阳运动时,必定会有强烈的“以太风”迎面吹来. 这样,和上面的例子一样, 光线迎 “以太风”传播一定距离再反射回来所花费的时间, 和光线垂直于 “以太风” 方向传播同样的距离再反射回来所花费的时间, 就应该是不相等的. 迈克耳孙 (A. Michelson)和莫雷(E. Morley)依此原理设计了一个实验, 证明了两束光所花费的时间并无不同, 从而说明地球相对以太是静止的, 或者以太根本就不存在. 随着爱因斯坦相对论的建立, 以太学说逐渐被学界所抛弃.

1907 年, 迈克耳孙因 “发明光学干涉仪并使用其进行光谱学和基本度量学研究”, 获得了诺贝尔物理学奖。作为迈克耳孙光学干涉仪的一个最著名的应用，迈克耳孙-莫雷实验解决了当年普遍困惑物理学界的问题, 而其基本思想竟是平均值不等式这一初等数学的知识!

教材 L1406–1448

内容提要

  1. 实数大小的比较:

.

  1. 等式的基本性质:

传递性 如果 ，且 ，那么 .

加法性质 如果 ,那么 .

乘法性质 如果 ,那么 .

  1. 不等式的基本性质:

传递性 如果 ,且 ,那么 .

加法性质 如果 ,那么 .

乘法性质 如果 ,那么 ; 如果 ,那么 .

  1. 不等式的常用性质:

如果 ,那么 .

如果 ,那么 .

如果 ,那么 .

如果 ,那么 ,其中 是正整数.

如果 ,其中 是正整数,那么 .

  1. 一元二次方程的根与系数关系:

设 的两根为 ,则 .

  1. 一元二次不等式的求解(下表中均假设 ，而 ):
有两不同实根 有两相同实根 无实根
解集为 解集为 解集为 R
解集为 解集为 解集为 R
解集为 解集为 解集为
解集为 解集为 解集为
  1. 基本不等式:

平均值不等式 ，当且仅当 时等号成立.

常用不等式 ，当且仅当 时等号成立.

三角不等式 ，当且仅当 时等号成立.

教材 L1450–1502

复习题

A 组

复习题A · 5
  1. 解下列一元二次不等式:

(1) ； (2) ；

(3) ； (4) ；

(5) ； (6) .

教材 L1517–1524
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  1. (1)解集为 . (2)解集为 (3) 解集为 (4) 解集为 . (5) 解集为 .

(6) 解集为 .

教参 L838–841
复习题A · 6
  1. 试写出一个二次项系数为 1 的一元二次不等式, 使它的解集分别为:

(1) ； (2) .

教材 L1525–1528
答案与解析收起 / 展开
  1. (1) . (2) .
教参 L842–843
复习题A · 9
  1. 设关于 的不等式 与 的解集分别为 , 试用集合运算表示下列不等式组的解集:

(1)

(2)

(3)

教材 L1535–1542
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  1. (1) . (2) .
教参 L848–849
复习题A · 12
  1. 如图,在直角三角形 中, 垂直于斜边 ,且垂足为 . 设 及 的长度分别为 与 .

(1)求斜边上的高 与中线 的长;

(2)用不等式表示斜边上的高 与中线 长度的大小关系.

教材或教参原图

(第 12 题)

教材 L1549–1562 · 教材 L1555–1557
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  1. (1) . (2) .
教参 L862–863
复习题A · 13
  1. 如图,已知直角梯形 的顶点 位于 轴上,顶点 落在函数 的图像上, 分别为线段 的中点, 为坐标原点, 为线段 与线段 的交点.

(1)求中点 的坐标，以及线段 、 的长度；

(2)用不等式表示 、 长度的大小关系.

教材或教参原图

(第 13 题)

教材 L1563–1568 · 教材 L1559–1561
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  1. (1) .

(2) .

教参 L864–867

B 组

复习题B · 9
  1. 设实数 满足 ,求 的最大值.
教材 L1589–1590
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  1. 不妨设 同号. 由 ,得 ,当且仅当 ,即 时,等号成立. 所以, 的最大值为 .
教参 L890–891
复习题B · 10
  1. 已知 为实数,求证: ,并指出等号成立的条件.
教材 L1591–1592
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  1. 证明: 由 ,可得 ,当且仅当 并且 ,即 时, 等号成立.

另证:

(1) 时, .

(2) 时, .

当且仅当 或 时,等号成立.

教参 L892–901
复习题B · 11
  1. 已知 是实数,

(1)求证: ，并指出等号成立的条件；

(2)求证:如果 ，那么 .

教材 L1593–1598
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  1. 证明:

(1) ,当且仅当 即 时, 等式成立.

(2) .

因为 ,所以 ; 并且 ,所以 .

教参 L902–909

拓展与思考

拓展与思考 · 1
  1. 解下列不等式:

(1) ； (2) .

教材 L1601–1604
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  1. (1)解集为 . (2)解集为 . 提示: 本题旨在强化等价变形, 并且两小题都有两种解法. (1) 既可以先移项, 化为分式 的形式,也可以两边同乘分母,化为一元二次不等式,但需要注意分母为零的情形. (2)既可以采用按零点分段, 讨论符号的方式去除两边的绝对值符号再求解, 也可以采用两边平方的方式去掉绝对值符号来求解.
教参 L912–913
拓展与思考 · 2
  1. 已知集合 . 若 ,且 ,求实数 及 的值.
教材 L1605–1606
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  1. . 提示: 本题旨在根据解集的性质反过来确定参数的取值,是不等式求解的逆向问题.
教参 L914–915
拓展与思考 · 3
  1. 已知实数 ,求证:
教材 L1607–1612
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  1. 证明: 由于 ,可得 ;

因为 ,

所以 .

提示: 本题给出了正数四种平均值之间的大小关系 (调和平均值 几何平均值 算术平均值 平方平均值),旨在加深对平均值的认识.

教参 L916–923
拓展与思考 · 4
  1. 方程 的三个根 1、2、3 将数轴划分为四个区间,即 . 试在这四个区间上分别考察 的解集. 符号,从而得出不等式 与 的解集.

一般地,对 ,且 ,试分别求不等式

的解集. (提示: 相互之间可能相等,需要分情况讨论)

教材 L1613–1621
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  1. 不等式 的解集为 .

不等式 的解集为 .

更为一般地,首先求解不等式 ,需按如下情形讨论:

(1) 时,解集为 ；

(2) 时,原不等式化为 ,解集为 ;

(3) ,原不等式化为 ,解集为 ；

(4) 时,原不等式化为 ,解集为 .

其次,求解不等式 ,需分如下情形讨论:

(1) 时,解集为 ；

(2) 时,原不等式化为 ,解集为 ；

(3) 时,原不等式化为 ,解集为 ;

(4) 时,原不等式化为 ,解集为 .

提示: 本题旨在引导学生了解如何利用分段讨论表达式符号的方式来求解三次不等式, 此外, 在分类讨论时还需注意有重根的情形. 用数轴标根法直接得出不等式解集的做法, 可在第五章中再加以补充.

教参 L924–949
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