复习题A · 1
- 用列举法表示下列集合:
(1)十二生肖组成的集合;
(2)中国国旗上所有颜色组成的集合.
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1.(1){鼠,牛,虎,兔,龙,蛇,马,羊,猴,鸡,狗,猪}. (2) {红,黄}.
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION chapter-end-1
教师整合版 / 沪教版高中数学
章末阅读、内容提要与复习题.
必修第一册
第1章集合与逻辑 · 保留教材主线与原题
章末阅读、内容提要与复习题
教材与正式教参整合
- 集合的概念与表示:
(1)集合是一些确定对象的全体. 集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征. 常用数集有 等.
(2)空集是不含任何元素的集合.
(3)当 ，且 时，满足 的所有实数 组成的集合记作开区间 ,满足 的所有实数 组成的集合记作闭区间 .
- 集合的关系与运算:
(1)子集关系可分为两类:真子集与相等的集合.
(2)集合 与 的交集是这两个集合的所有公共元素组成的集合，记作 ；集合 与 的并集是这两个集合的所有元素组成的集合，记作 .
(3)对于全集 ，其任一子集 均有补集. 一个集合 的补集是指在全集 中而不在 中的所有元素组成的集合，记作 .
- 命题:
(1)命题是指能判断其真假的语句.
(2)命题有真、假两类.
- 充分条件与必要条件:
(1)当 时， 是 的充分条件， 是 的必要条件.
(2)当 时， 是 的充要条件. 此时，在推理过程中 与 能互相替换.
- 反证法，是指通过否定结论，推出矛盾，进而证明结论成立的证明方法.
复习题
A 组
复习题A · 2
- 用描述法表示下列集合:
(1)平面直角坐标系中第一象限的角平分线上的所有点组成的集合;
(2)3 的所有倍数组成的集合.
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- (1) . (2) .
复习题A · 3
3.(1)若 ，则 是 的___条件；
(2)若 :四边形 是正方形， :四边形 的两条对角线互相垂直平分， 则 是 的___条件.
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- (1) 必要非充分. (2) 充分非必要.
复习题A · 4
- 已知方程 的所有解组成的集合为 ,方程 的所有解组成的集合为 ,且 . 求集合 的所有子集.
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- 所有子集共有 8 个: , .
复习题A · 5
- 已知集合 . 求: .
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- ,而 .
复习题A · 6
- 已知全集 ,集合 . 求 .
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复习题A · 7
- 已知集合 ，且 ， . 求实数 的值.
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复习题A · 8
- 设 是实数. 若 是 的一个充分条件，则 的取值范围为___.
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复习题A · 9
- 已知陈述句 是 的充分非必要条件. 若集合 满足 满足 , 则 与 的关系为 ( )
A. ; B. ; C. ; D. .
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- A.
复习题A · 10
- 证明: 若梯形的对角线不相等, 则该梯形不是等腰梯形.
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- 假设该梯形 是等腰梯形,其中 分别是上、下底. 因为点 、 到直线 的距离相等,且 ,故 ,从而三角形 与三角形 全等,故 ,但这与该梯形的对角线不相等矛盾.
因此该梯形不是等腰梯形.
B 组
复习题B · 1
- 若集合 ,则下列结论正确的是 ( )
A. ; B. ; C. ; D. .
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- C.
复习题B · 2
- 若 是 的必要非充分条件, 是 的充要条件, 是 的必要非充分条件,则 是 的___条件， 是 的___条件.
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- 充分非必要, 充分非必要.
复习题B · 3
- 已知全集 为不大于 20 的素数 . 若 ， ，则 ___， ___.
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复习题B · 4
- 已知集合 且 ，且 . 求实数 的取值范围.
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复习题B · 5
- 已知全集 ,集合 或 4),且 . 求实数 的取值范围.
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复习题B · 6
- 已知集合 . 是否存在这样的实数 ,使得集合 有且仅有两个子集? 若存在,求出实数 的值及对应的两个子集; 若不存在,说明理由.
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- 存在, 或 . 当 时,对应的两个子集为 及 ; 当 时, 对应的两个子集为 及 .
复习题B · 7
- 证明: 是无理数.
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- 假设 是有理数,则可设 ,其中 与 是互素的正整数. 于是 ,两边立方,得 . 所以 是偶数,于是 也是偶数. 设 , ,则 ,所以 也是偶数,于是 也是偶数. 这样 与 有公因数 2,与 互素的假设矛盾.
所以假设不成立,即 是无理数.
拓展与思考
拓展与思考 · 1
- 设 是正整数. 求证: 若 是 3 的倍数,则 与 被 3 除的余数相同.
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- 设 .
,故 是 3 的倍数,当且仅当 是 3 的倍数.
假设 ,不妨设 ,那么只有 这三种情况,此时 分别为 ,都不是 3 的倍数,这与 是 3 的倍数矛盾. 因此假设不成立,故 ,即 与 被 3 除的余数相同.
拓展与思考 · 2
- 已知非空数集 满足: 对任意给定的 可以相同 ,有 且
(1)哪个数一定是 中的元素？说明理由；
(2)若 是有限集，求 ；
(3)若 中最小的正数为 5，求 .
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- (1) 由于 非空,故 中一定有元素. 设其中一个元素为 ,由题意, 一定是 的元素. 另一方面, 满足条件,因此任何非零实数都可以不是 的元素.
(2)假设 中有非零元素 ,则 , ,依次类推,形如 的所有实数都是 的元素,与 是有限集矛盾. 因此 .
(3)首先,类似(2),5 的正整数倍一定是 的元素.
其次,由于 ,故当 时,一定有 ,因此所有形如 的数都是 的元素.
最后,假设 中有形如 的元素,那么 ,这与 中最小的正数为 5 矛盾.
综上所述, .