不等式的求解.

解 由不等式的性质,可得:

当 时,解集为 ;

当 时,解集为 ;

当 时,解集为 .

解 根据不等式的性质,原不等式组等价于 整理得

因此,当 时,解集为 ; 当 时,解集为 .

解 利用不等式的性质,原不等式等价于两个一次式 和 同号,即等价于不等式组 或

由此得 或

因此, 原不等式的解集为这两个不等式组解集的并集 .

解 利用不等式的性质, 原不等式等价于

由第一组不等式,得 其解集为 ; 而由第二组不等式,得 其解集为 .

此刹车案例参考了由吉奥丹诺(F. R. Giordano)等著、叶其孝等译的《数学建模》 一书. 为便于理解, 原始模型中的距离单位英里、英尺换算为千米、米，参数值也做了相应调整.

请参照图 2-2-1, 在数轴上表示出例 3 的解集.

因此，原不等式的解集为 .

下面，我们来讨论如何求解一般的一元二次不等式

不失一般性,我们总假设二次项系数 . 因为当 时,只要在原不等式两边同乘 -1 ，并改变不等号的方向，就可以转化为 的情形.

通过例 3 和例 4，我们可以发现:一元二次不等式的求解与相应的一元二次方程的求解密切相关.

事实上,当 时,一元二次方程 有两个不同的实根,记为 ,其中 . 利用因式分解,不等式 等价于 ,且由于 ,原不等式等价于 . 类似于例 3, 易知不等式 的解集为 . 相应地,不等式 等价于 . 类似于例 4,易知不等式 的解集为 .

同理,当 时,不等式 等价于 ,其解集为 ; 而不等式 等价于 ,其解集为 .

设方程 的判别式 , 其两根记为 ,且 ,则可将上述不等式的求解结果总结成下表:

表 2-1

解 将不等式两边乘 -1,原不等式就化为 . 相应的一元二次方程 的两根为 .

对照表 2-1,可知原不等式的解集为 .

对前面提到的判别超速问题, 只要求出相应的一元二次不等式 0.208.5v+0.0064 的解集即可. 利用前面的方法,容易解得 (舍去) 或 (约为 41.9 km/h).

由此可推断出该肇事汽车在刹车前的车速大于 ,超过该道路上机动车的限速规定 . 这个推断将成为交通管理部门认定事故责任的重要依据之一.

1. 当 时,解集为 ; 当 时,解集为 .

2. . (2) . (3) .

3. (1) . (2) .

解(1)将原不等式移项，得 ，即 . 此时,相应的判别式 ,原不等式的解集为 .

(2)将原不等式移项并整理，得 ，相应的判别式 ,原不等式解集为 .

(3)相应的判别式 ，故由表 2-2 知， 原不等式的解集为 .

(4)将原不等式移项，得 ，相应的判别式 ,故由表 2-2 知,原不等式的解集为 .

【编辑补写／校订】

(1) ，解集为 。

(2) ，解集为 。

(3) ，解集为 。

(4) ，解集为 。

(5) ，解集为 。

(6) ，解集为 。

【编辑补写／校订】

可分别写为：

(1) ；(2) ；

(3) ；(4) 。

前两式的左边为 ，零点为 ；后二式分别对所有实数成立、对所有实数不成立。答案不唯一。

解 原不等式组等价于 即

解得 .

因此,原不等式组的解集为 .

解 因为不等式 的解集为 ,由表 2-1 及表 2-2,可知方程 的判别式

即 ,解得 .

所以,当 时,不等式 的解集为 R.

解 由题意, 并对照表 2-1 及表 2-2, 可知一元二次方程 的两个根是 1 和 2 . 利用根与系数的关系,得

将 的值代入不等式 ,得 , 即 ,也就是 ,其解集为 .

1.(1)解集为 . (2)解集为 .

2. 的取值范围为 .

3. ,解集为 .

解 原不等式等价于 与 同号,也就是

即

所以，原不等式的解集为 .

解 移项并整理,可将原不等式化为 .

另外,要使原不等式左边的分式有意义,要求 .

于是, 原不等式可转化为

即

所以，原不等式的解集为 .

解 对所有实数 ,都有 . 在原不等式两边同时乘 ,可将原不等式等价地转化为 .

移项并整理,得 ,即 .

所以，原不等式的解集为 .

解 代理商每年可销售(8-0.62r)万件衬衫，每件衬衫的价格为 元,因此年销售额为 万元,代理商收取的年代理费为 万元.

依题意, 得

且

经整理,得 ,即 , 且 .

解得

因此,所求 的取值范围是 .

解 原不等式等价于

将上述不等式中的各项同加 1,得 .

所以，原不等式的解集为 .

解 原不等式等价于

解这两个不等式,得 或 .

所以，原不等式的解集为 .

Q

解 当 时,原不等式化为 ,即 . 此时, 不等式的解为 .

当 时,原不等式化为 ,即 . 此时,不等式的解为 .

综上所述,原不等式的解集为 .

解 当 时,原不等式化为 ,可解得 . 此时,不等式的解为 .

当 时,原不等式化为 ,即 , 它始终成立. 此时,不等式的解为 .

当 时,原不等式化为 ,可解得 . 此时,不等式的解为 .

综上所述，原不等式的解集为

1.(1)解集为 . (2)解集为 .

2.(1)解集为 . (2)解集为 . (3)当 时,解集为 ; 当 时,解集为 .

3. (1)解集为 . (2) 解集为 . (3)解集为 (4) 解集为 .

4. (1) . (2) . (3) . (4) .

5.(1) 的取值范围为 . (2) 的取值范围为 .

6.(1) 的取值范围为 . (2) 的取值范围为 .

7.(1)解集为(3). (2)解集为 . (3)解集为 . (4)解集为 .

8.(1)解集为 R. (2)解集为 . (3)解集为 . (4)解集为 .

9. 的取值范围为 .

10. .

11. ( 1 )解集为 . (2)解集为 . (3)解集为 .

12.(1)解集为 . (2)解集为 .

(3)解集为 解集为 . (5)解集为 .

13. (1) 的取值范围为 . (2) 的取值范围为 .

14.(1)解集为 . (2)解集为 . (3)解集为 . (4)解集为(-3,4).

15. 提示: 设船速为 ,则 . 船速至少为 .

1. 当 时,解集为 .

当 时,解集为 .

当 时:(1)若 ,解集为 . (2)若 ,解集为 .

2. (1)当 时,解集为 ；

当 时,解集为 ;

当 时,解集为 .

(2)当 时,解集为 ；

当 时,解集为 ;

当 时,解集为 .

(3)解集为 .

3. ; 解集为 .

4.(1)解集为 . (2)解集为 . (3)解集为

5. (1)解集为 .

6.(1)解集为 . (2)解集为 . (3)解集为 . (4) 解集为 .

7. 的取值范围为 .

8. 提示: 考虑 和 两种情况. 的取值范围为 .