解(1)6 的正整数倍可表示为 ，其中 是正整数. 因为正整数有无限个, 所以 6 的正整数倍的全体组成的集合是一个无限集.

(2)600 的正约数一定是小于或等于 600 的正整数，其个数不超过 600 . 所以 600 的正约数的全体组成的集合是一个有限集.

(3)虽然 2019 年出生在上海的人比较多，但总数还是有限的. 所以 2019 年在上海出生的所有人组成的集合是一个有限集.

(4)因为该线段的二等分点、三等分点、四等分点……都是该集合中的元素，所以一条给定的长度为 1 的线段上的所有点组成的集合是一个无限集.

数学中, 常常需要用到数的集合. 数的集合简称数集. 常用的数集可用以下特定的符号来表示，见表 1-1.

表 1-1 常用数集的符号

解 (1) . (2) . (3) . (4) .

不含有任何元素的集合称为空集，记作 . 引进空集是有必要的. 例如,方程 没有实数解,我们就说它的实数解组成的集合是空集. 又如, 当两条直线平行时, 它们没有公共点, 就可说这两条直线的公共点组成的集合是空集. 在以后学习交集时, 我们还将进一步体会到引入空集的必要性.

1. (1)能组成集合,是有限集. (2)能组成集合,是无限集. (3)不能组成集合, 因为 “比较大” 标准不明确.

2. (1) . (2) . (3) . (4) .

解(1)所有不大于 10 的正整数组成的集合是 , .

(2)该方程的所有解组成的集合是 .

(3)该集合中任意两个不同元素之和组成的集合是 .

能用列举法表示的集合一般是有限集, 但对于一些有规律的无限集, 在不会引起歧义的前提下, 也可用列举法表示. 例如, 全体正偶数组成的集合可以表示为 .

集合还有另外一种表示方法.

在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号, 再画一条竖线, 并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征, 即

“集合中所有元素具有的共同特征”是指:

(1)在该集合中的元素都具有这个特征;

(2)不在该集合中的元素不具有这个特征.

这种表示集合的方法叫做描述法. 例如,方程 的所有解组成的集合可以表示为 . 又如,函数 图像上的所有点组成的集合可以表示为 .

解 (1) 用列举法: .

(2)用描述法: .

(3)因为第二象限中所有点 具有的特征是 且 ,而第四象限中所有点具有的特征是 且 ,所以第二象限与第四象限中所有点具有的特征可统一地写为 ,于是可用描述法表示该集合:

数学中, 常常需要表示满足一些不等式的全体实数所组成的集合. 为了方便起见, 我们引入区间 (interval) 的概念.

当 且 时,规定:

满足不等式 的全体实数 组成的集合称为一个闭区间,记作 .

满足不等式 的全体实数 组成的集合称为一个开区间,记作 .

闭区间与开区间在数轴上的表示,如图 1-1-1 所示.

图 1-1-1

满足不等式 或 的全体实数 所组成的集合称为一个半开半闭区间,分别记作 .

半开半闭区间在数轴上的表示, 如图 1-1-2 所示.

图 1-1-2

这里的实数 统称为这些区间的端点.

此外,满足不等式 或 的全体实数 所组成的集合可分别用区间表示为 , 或 .

实数集 可用区间表示为 .

符号“ ” 读作“无穷大”.

解 (1) 该集合可用区间 表示.

(2)因为不等式 的解是 ，所以它的所有解组成的集合是 .

1. (1) (2) .

2. (1) . (2) .

3. (1) .

解 由集合相等的定义，可知

此处为什么有两种情况?

分别解得 或

解(1)因为 ，所以 .

(2)因为当 时， 中的元素 必定属于 ,所以 .

又因为 ,而 ,所以 .

解 可以按照子集的元素个数分类:

不含任何元素的子集 1 个:空集 ；

含 1 个元素的子集 3 个: ；

含 2 个元素的子集 3 个: ；

含 3 个元素的子集 1 个: .

除集合 本身外,其余 7 个都是真子集.

1.(1)该说法正确. 的意义是 “A 中的每一个元素都是 的元素”,因此 是 的元素.

(2)该说法错误. 例如, . 满足 且 , 但 与 不相等.

(3)该说法正确. 由 及 ,可知 . 另一方面, 不可能等于 , 否则将导致 且 ,这意味着 且 ,这是不可能的. 因此 .

2.(1)C. (2)二. (3)=.

3. 满足条件的集合 共有 6 个,分别为 ,

解 由题意, 表示 既属于 又属于 ,即 是方程组

的解,所以 . 于是, .

其次, 我们可以把两个已知集合的所有元素放在一起组成一个新的集合.

定义 由所有属于集合 或属于集合 的元素所组成的集合,叫做集合 与 的并集 (union),记作 (读作“ 并 B”), 即

可以用文氏图直观地反映 的几种不同情况,如图 1-1-5所示,其中阴影部分表示 .

图 1-1-5

对照图 1-1-4 的三种情况，请各举一实例.

解 在数轴上标出集合 与 ,如图 1-1-6 所示.

图 1-1-6

于是 .

解 因为 ,所以 的元素只能在 1、2、3 中取. 为了使得 中有 3,3 必须是 的一个元素. 至于 1、2 是否为 的元素，不会影响 的结果.

因此，满足条件的集合 一共有 4 个: ， .

最后, 我们介绍全集与补集.

在数学研究中, 所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素. 例如, 求方程的实数解时, 所有解组成的集合一定是实数集 的一个子集; 求三角形的内角的大小时,如果以度 为单位, 那么角的度数一定是开区间 中的一个元素; 等等. 这个确定的集合称为全集 (universal set),常用符号 表示. 它含有我们所要研究问题的全部可能的元素.

定义 设 为全集, 是 的子集. 由 中所有不属于 的元素组成的集合称为集合 在全集 中的补集 (complementary set),记作 (读作“ 补”),即

有时为了强调全集 ,集合 在全集 中的补集 也可以记作 .

当全集为实数集 时,有理数集 的补集 就是全体无理数组成的集合.

图 1-1-7

可以用文氏图直观地反映 ，如图 1-1-7，其中阴影部分表示集合 在全集 中的补集 .

解 由条件, 可得

所以

而 ,所以

1. (1) . (2) . (3) .

2. .

3. (1) .

(2) .

1. .

2. (1) . (2) . (3) .

3. C.

4. (1) (2) .

5. 当 时,1是 的元素,因此 ,得 . 而当 时, ,此时 成立. 因此满足条件的 存在,且 的值为 2 .

6. .

7. .

8. .

9. .

1. 或 0 .

2. .

一方面,对于集合 中任意给定的元素 都可以表示为 的形式,其中 是整数,因此 也可以表示为 的形式. 因为 是整数,所以 也是整数,因此 . 从而 .

另一方面, ,故 ,但解 ,得 ,因此 . 从而 不是 的子集.

综上所述, .

3. 存在, 或 -1 .

4. 或 2.

当 时, ; 当 时, ; 当 时, .