2×2 列联表.

在实际问题中经常遇到要证实两类变量是相关的, 或者反过来, 证实它们是相互独立的. 如何利用取自这两类变量的样本来判断它们是否相互独立呢?

下面通过案例来加以说明.

某疾病预防中心随机调查了 339 名 50 岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表 8-7 所示. 问:患慢性气管炎与吸烟是否相互独立？

表 8-7

由表 8-7 中的数据可以计算其中一个分类变量的不同类别在另一个分类变量中的百分比. 例如, 在不吸烟者中, 有 9.70%患慢性气管炎，而在吸烟者中，有 20.98%患慢性气管炎，两者相差较大. 因此，我们可以初步推断:患慢性气管炎可能与吸烟有关，吸烟者患慢性气管炎的可能性更大. 但这种推断是否具有统计意义呢? 我们有多大把握认为患慢性气管炎与吸烟有关呢? 这就需要用到 列联表独立性检验方法.

: 患慢性气管炎与吸烟没有关系,即它们相互独立.

要检验上述假设,我们需要对 列联表 (表 8-7) 中的观察值与预期值进行比较. 预期值是当原假设 成立时的预期结果. 例如, 由表 8-7 可知, 总计 339 位样本公民中有 56 位患有慢性气管炎，其百分比为 . 假设患慢性气管炎与吸烟没有关系，那么 205 位吸烟者中应该有 205×16.52% ≈ 33.87 位患有慢性气管炎，这里的 33.87 就是原假设 成立时计算得到的预期值. 我们把这样计算得到的所有预期值与观察值建立表格，就得到表 8-8.

表 8-8

为了描述观察值与预期值之间的总体偏差, 我们引入统计量 :

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的值越大,说明表 8-8 中观察值与预期值的总体偏差越大,原假设成立的可能性就越小. 那么究竟 多大时,我们才可以拒绝原假设呢? 这涉及 分布. 通过查阅 分布概率表, 可以得到 值超过某些界限的概率. 例如,

以 为例,其含义是: 如果原假设成立, 那么 成立的概率约为 0.05 . 这是一个小概率事件,不太可能发生. 由于在本例中, ,因此我们可以推断原假设 “患慢性气管炎与吸烟没有关系” 成立的可能性小于 5%. 或者说,我们有 95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关.

为了计算方便,我们给出 列联表 检验的计算公式:

设有两组分类数据 ,每组数据的两种状态分别用 0 和 1 表示 (如 A 组是“不吸烟者”, B 组是“吸烟者”; 用 “O”表示“不患慢性气管炎者”，用“1”表示“患慢性气管炎者”)，则可得到下面的 列联表 (表 8-9): 其中, 为实际观察值.

表 8-9 两组分类变量的 列联表

由 ,经过变形可得 的一般计算公式

①

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0.05 、 0.01 等小概率值在统计上称为显著性水平,记作 . 方便起见, 本书的显著性水平规定为 0.05 .

虽然小概率事件发生的概率很小, 但在统计上由于小概率事件发生而作出拒绝原假设的推断还是有风险的. 显著性水平为 0.05 , 可以理解为错误拒绝的概率不超过0.05 .

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其中, .

该公式的证明留作习题.

从上面的例子可以看出, 列联表独立性检验通常有如下步骤:

(1)提出两个随机变量没有关系的原假设 .

(2)确定显著性水平 ,本书中规定 ,也即 .

(3)计算统计量 的值.

(4)统计决断:比较上述 值与 3.841 的大小，若 值 3.841,则拒绝 (或否定) ; 若 值 ,则不能拒绝 (或否定) ,即接受 . 根据上述推断作出结论.

某初中调查了该校 1000 名初三学生最近一次数学测试成绩与课堂注意力表现情况， 得到下表:

请根据表中提供的数据判断:上课注意力集中与否对学习成绩有影响吗？

为了研究两个因素是否相互影响, 常常要用到独立性检验.