排列.

解 先画出下面的树形图 (图 6-2-2): 于是可知,所有的排列是 、

图 6-2-2

解 考虑一排的 6 个位子(图 6-2-3). 将 6 本书排成一排, 相当于将这 6 本书分别放到这 6 个位子中, 这是将全部 6 个元素进行排列的问题.

图 6-2-3

从左至右将 6 个位子依次编号为 1 到 6 ，完成一个排列可以分为以下六个步骤:

第一步:确定放在 1 号位上的书，有 6 种方法；

第二步:确定放在 2 号位上的书，有 5 种方法；

第三步:确定放在 3 号位上的书，有 4 种方法；

第四步:确定放在 4 号位上的书，有 3 种方法；

第五步:确定放在 5 号位上的书，有 2 种方法；

第六步:确定放在 6 号位上的书, 有 1 种方法.

根据乘法原理, 不同的排法数为

于是, 将 6 本不同的书排成一排, 有 720 种不同的排法.

解 将第一排的 5 个位置从左至右编号，号码分别为 1 到 5 ； 再将第二排的 5 个位置从左至右编号, 号码分别为 6 到 10 . 这样, 问题就转化为: 10 名学生排在编号为 1 到 10 的十个位置上，共有多少种不同的排法？ 这时，完成一个排列可以分为以下十个步骤:

第一步:确定坐在 1 号位上的学生，有 10 种方法；

第二步:确定坐在 2 号位上的学生，有 9 种方法；

......

第 步: 确定坐在 号位上的学生,有 种方法;

......

第十步:确定坐在 10 号位上的学生，有 1 种方法.

根据乘法原理, 不同的排法数为

1. ,

解 解法一: 用 0 到 5 这 6 个数字组成一个三位数, 可以看成从这 6 个数字中任取 3 个的一个排列 (0 排在百位的除外). 由于百位上的数字不能是 0 , 因此可以分两个步骤考虑: 先排百位上的数字, 再排十位和个位上的数字.

百位上的数字从 1 到 5 这 5 个数字中任取 1 个,有 种情形; 十位和个位上的数字, 可以从余下的 5 个数字中任取 2 个, 有 种情形. 根据乘法原理,所求的三位数的个数为

解法二: 从 0 到 5 这 6 个数字中任取 3 个数字的排列数, 减去其中以 0 为排头的排列数, 就是用这 6 个数字组成的没有重复数字的三位数的个数.

从 0 到 5 这 6 个数字中任取 3 个数字的排列数为 ,其中以 0 为排头的排列数为 ,因此所求的三位数的个数为

解法三: 由于 0 不能出现在百位上, 因此可以根据数码中是否有 0 和 0 出现在哪一位上进行分类讨论.

满足条件的三位数可以分成三类:

每一位数字都不是 0 的三位数有 个;

个位数字是 0 的三位数有 个;

十位数字是 0 的三位数有 个.

根据加法原理，符合条件的三位数的个数为

解(1)解法一:因为甲和乙不能相邻，所以可以先考虑确定甲和乙在排列中的位置, 再进行排列.

将一排的 7 个位置从左向右依次编号为 1 到 7 ，则甲和乙所在位置的编号有以下 15 种情形:

、

这样, 可以分两步找出符合条件的排列:

第一步,确定甲和乙在以上 15 种情形中的位置,有 种情形;

第二步,确定余下 5 人在排列中的位置,有 种情形.

根据乘法原理, 符合条件的排列的个数为

解法二: 因为甲和乙不能相邻, 所以可以先将余下 5 人排列好, 相邻两人中间均留有一个空位, 加上两端的空位, 共有 6 个空位, 再将甲乙两人分别插入其中两个不同的空位即可.

这样, 可以分两步找出符合条件的排列:

第一步,先对甲和乙以外的 5 人进行排列,共有 种情形, 这 5 人形成了 6 个空位;

第二步，再将甲和乙分别插入这 6 个空位中的 2 个，共有 种情形.

根据乘法原理, 符合条件的排列的个数为

总之，7 个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，共有 3600 种排法.

(2)分三个步骤完成这件事情:

第一步:将 3 本数学书和 2 本外语书都分别看作一本书，然后连同其他 3 本物理书排成一排,有 种排法;

第二步:3 本数学书的位置可以互换，有 种排法；

第三步:2 本外语书的位置也可以互换，有 种排法.

根据乘法原理, 不同排法的总数为

解 根据 所在的位置可以分以下两种情形:

若 在末位,则余下 5 个元素可任意排列,这样的排列的个数为

若 不在末位,则因为 不在首位,可以分三步找出符合条件的排列:

第一步,确定 的位置,有 4 种情形;

第二步,确定 的位置,有 4 种情形;

第三步，确定余下 4 个元素在排列中的位置，有 种情形.

根据乘法原理, 不在首位和末位的排列的个数为

综上, 满足条件的排列的个数为

【回源配对并编辑补解】(1) ；(2) ；(3) 。

【回源配对并编辑补解】(1) 次；(2) 种。

解 根据排列数公式, 可以得到

证明 (1) 根据排列数公式, 可以得到

所以, .

(2)根据排列数公式，可以得到

所以, .

解 首先,由排列数的定义,有 由此解得 . 此外, 原方程可化为

再化简, 可得

即

即

舍去非整数的根 ,故

2. 提示: 把 个元素进行全排列,有 种排法,其中,编号为 的元素恰位于最后一个位置的排法有 种; 如果编号为 的元素不在最后一个位置上,那么它可以位于前 个位置中的任意一个,最后一个位置上的元素编号可取 1, 中的一个,即剩下的 个元素放置在余下的 个位置上. 由乘法原理即得结论.

1.24; 12.

2.20.

3.22.

4.48.

5.400.

6. (1) 60. (2) 630.

7. D.