排列.

考虑下面两个问题:

问题 1: 从甲、乙、丙 3 名学生中任选 2 名, 一名担任正班长, 另一名担任副班长. 有多少种不同的选法?

这个问题就是从甲、乙、丙 3 名学生中，每次任选 2 名，按照正班长在左、副班长在右的顺序排列, 求一共有多少种不同的排法.

首先确定正班长, 在 3 名学生中, 任选一名作为正班长, 有 3 种方法; 然后确定副班长, 当正班长选定后, 副班长就只能在其余的两人中选取, 有 2 种方法. 于是, 根据乘法原理, 从甲、 乙、丙 3 名学生中，每次任选 2 名，按照正班长在左、副班长在右的顺序排列的不同方法共有

种, 即有 6 种不同的选法.

问题 1 是从 3 个不同的元素 中任取 2 个,并按序排列, 求一共有多少种不同的排列方法. 所有的排列是

这些排列的总数为 .

问题 2: 已知抛物线的方程为 ,其中 、 ,且 两两不同. 求这样的抛物线的个数.

这个问题就是从 4 个不同的数字中，每次任取 3 个不同的数字,按照 的系数、 的系数和常数项这样的顺序排列起来, 求一共有多少种不同的排法.

第一步,先确定 的系数,从 这 4 个数字中任取 1 个, 有 4 种方法;

第二步,确定 的系数,当 的系数确定以后, 的系数只能从余下的 3 个数字中任取 1 个,有 3 种方法;

第三步,确定常数项,当 的系数和 的系数都确定以后, 常数项只能从余下的 2 个数字中任取 1 个, 有 2 种方法.

根据乘法原理, 从 4 个不同的数字中, 每次任取 3 个不同的数字,分别作为 的系数、 的系数和常数项的方法共有

种. 具体方法如图 6-2-1 所示( ☐☐ ☐ 中的数字从左至右依次为 的系数、 的系数和常数项).

图 6-2-1

以上两个问题的共同点在于, 都是从若干个不同元素中选取部分 (或全部) 元素, 并按序排列, 求一共有多少种不同的排法.

从排列的定义可以看出, 如果两个排列是相同的, 不仅组成这两个排列的元素完全相同, 而且排列的顺序也是完全相同的. 如果所取的元素不完全相同, 那么这两个排列是两个不同的排列 (如问题 1 中的 与 ); 如果所取的元素完全相同,但排列顺序不同, 那么这两个排列也是不同的排列 (如问题 2 中的 3[2] 与 3[12]).

怎样计算从 个不同元素中取出 个元素的排列的个数? 一般地，我们有下面的定义:

P 是英文 permutation 的第一个字母. 在有些资料中也用符号 表示排列数.

例如,问题 1 中的选法数可以表示为 ; 问题 2 中的抛物线个数可以表示为 . 下面研究排列数的计算公式.

求排列数 ,可以这样考虑: 假定有排好顺序的 3 个位子 (图 6-2-4),从 个互不相同的元素 中任取 3 个填空, 一个位子填一个元素, 每一种填法就得到一个排列; 反过来, 任何一个排列都可以由这样的一种填法得到. 因此, 所有不同填法的总数就是排列数 .

图 6-2-4

为了计算 ,可以分成以下三个步骤:

第一步,确定 1 号位上的元素,这可以从 个互不相同的元素中任取一个填空,有 种方法;

第二步,确定 2 号位上的元素,这可以从剩下的 个互不相同的元素中任取一个填空,有 种方法;

第三步,确定 3 号位上的元素,这可以从剩下的 个互不相同的元素中任取一个填空,有 种方法.

根据乘法原理, 可以得到排列数为

同样,求 ,可以这样考虑: 假定有排好顺序的 个位子 (图 6-2-5),从 个互不相同的元素 中任取 个填空, 一个位子填一个元素, 每一种填法就得到一个排列; 反过来, 任何一个排列都可以由这样的一种填法得到. 因此, 所有不同填法的总数就是排列数 .

图 6-2-5

为了计算 ,可以分成以下 个步骤:

第一步,确定 1 号位上的元素,这可以从 个互不相同的元素中任取一个填空,有 种方法;

第二步,确定 2 号位上的元素,这可以从剩下的 个互不相同的元素中任取一个填空,有 种方法;

第三步，确定 3 号位上的元素，这可以从剩下的 个互不相同的元素中任取一个填空,有 种方法;

以此类推,当前面的 个位子都被填好后, 号位可以从余下的 个互不相同的元素中任取一个填空,有 种方法.

根据乘法原理, 可以得到排列数为

为方便起见,把乘积 记作 ,读作 的阶乘,那么 个不同元素的全排列数可以写成

即排列数公式还可写成

为了使这个公式在 时也成立,我们规定

所以 在 时也成立,即 .