例题 1
例 1 一个三层的书架上共放有 9 本书, 其中第一层放有 4 本不同的语文书, 第二层放有 3 本不同的数学书, 第三层放有 2 本不同的外语书. 若从书架的第一、二、三层各取 1 本书, 共有多少种不同的取法?
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 6.1
学生阅读版 / 沪教版高中数学
乘法原理与加法原理.
选择性必修第二册
第6章计数原理 · 保留教材主线与原题
乘法原理与加法原理
教材与正式教参整合
选修二第6章计数原理
自远古以来，数 (shù) 的概念就来源于数 (shǔ) 这个动作. 直到今天, 精确地知道一个有限集合中元素的个数，仍然是一类非常重要的问题. 例如, 在必修课程第 12 章中, 我们已经看到古典概率的计算往往需要用到一些集合的元素个数之间的比值, 但在那里, 因为样本空间较小, 大多数计数都是通过枚举完成的. 在本章里，我们将学习一些基本的计数原理, 以便能够解决更多的计数问题.
1 乘法原理
先看下面的问题:
图 6-1-1
如图 6-1-1,从甲地到丙地,需经过乙地. 其中,从甲地到乙地有 3 条路线 ,而从乙地到丙地有 2 条路线 、 . 那么,从甲地经由乙地到丙地,共有多少种不同的走法?
从甲地到乙地有 3 种不同的走法, 按其中任何一种走法到达乙地后, 再由乙地到丙地又有 2 种不同的走法. 于是, 不同的走法就有以下 6 种情形 (其中符号 的含义是 "先走路线 , 再走路线 ",其余类同):
其中，每一种情形都可"从甲地经由乙地到丙地". 因此，从甲地经由乙地到丙地共有
种不同的走法.
这里使用的就是下面的
乘法原理(分步计数原理) 做一件事,需要依次完成 个步骤,其中完成第一步有 种不同的方法,完成第二步有 种不同的方法, ,完成第 步有 种不同的方法. 那么完成这件事共有
种不同的方法.
例题 2
例 2 用 1、2、3、4、5 可以组成多少个没有重复数字的三位数?
例题 3
例 3 正整数 540 有多少个不同的正约数?
练习 6.1(1)
练习6.1(1) · 1
- 公园有 4 个门, 从一个门进, 再从另一个门出, 共有多少种不同的走法?
练习6.1(1) · 2
- 4 名学生报名参加两项体育比赛，每名学生可参加的比赛数目不限，每项比赛参加的人数不限，共有多少种不同的报名结果?
2 加法原理
再看下面的问题:
从甲地到乙地, 可以乘飞机, 可以乘轮船, 也可以乘汽车. 一天中，飞机有 4 班，轮船有 3 班，汽车有 2 班. 问:一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
因为一天中乘飞机有 4 种走法, 乘轮船有 3 种走法, 乘汽车有 2 种走法, 其中每一种方法都可以实现从甲地到乙地的目的, 所以一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有
种不同的走法.
这里使用的就是下面的
每一类办法中的每一种方法都可以单独完成这件事情, 这是"加法原理"与"乘法原理"的区别.
加法原理(分类计数原理)做一件事，完成它有 类办法,其中第一类办法有 种不同的方法,第二类办法有 种不同的方法, ,第 类办法有 种不同的方法. 那么完成这件事共有
种不同的方法.
例题 4
例 4 用 1、2、3、4、5 这五个数字可以组成多少个十位数字大于个位数字的两位数?
例题 5
例 5 如图 6-1-2, 从甲地到乙地有 2 条路, 从乙地到丁地有 3 条路; 从甲地到丙地有 4 条路, 从丙地到丁地有 2 条路. 那么, 从甲地到丁地, 如果每条路至多走一次, 且每个地点至多经过一次, 有多少种不同的走法?
图 6-1-2
例题 6
例 6 在 300 和 800 之间，有多少个没有重复数字的奇数?
练习 6.1(2)
练习6.1(2) · 1
- 在平面直角坐标系中,以 1、2、3、4、5 这五个数中的两个分别作为一个点的横坐标和纵坐标,可以组成多少个位于直线 下方的点?
练习6.1(2) · 2
- 书架上放有 6 本不同的数学书和 5 本不同的语文书. 从中任取一本，有多少种不同的取法?
习题 6.1
A 组
习题6.1A · 1
- 4 名学生分别报名参加学校的足球队、篮球队和棒球队, 每人限报其中的一支. 问: 有多少种不同的报名方法?
习题6.1A · 2
- 某服装厂为学校设计了 4 种样式的上衣、 3 种样式的裤子. 若取其中的一件上衣和一条裤子配成校服，则可以配出多少种不同样式的校服?
习题6.1A · 3
- 在一种编码方式中, 每个编码都是两位字符, 规定第一位用数字 0 至 9 中之一, 第二位用 26 个小写英文字母中之一. 这种编码方式共可以产生多少个不同的编码?
习题6.1A · 4
- 设集合 ,且 ,则集合 中有多少个元素?
习题6.1A · 5
- 从 这 5 个元素中取出 4 个,放在 4 个不同的格子中,且元素 不能放在第二个格子里. 问: 一共有多少种不同的放法?
习题6.1A · 6
- 五人站成一排,如果 必须站在 的右边 可以不相邻), 那么有多少种不同的排法?
B 组
习题6.1B · 1
- 乘积 的展开式中有多少项?
习题6.1B · 2
- 如图,要接通从 到 的电路,不同的接通方法有多少种?
(第 2 题)
习题6.1B · 3
- 用 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同, 且 1 和 2 相邻. 问: 有多少个这样的六位数?
习题6.1B · 4
- 已知 是互不相同的素数, 是正整数, . 问: 有多少个不同的正约数?