教师整合版 / 沪教版高中数学
选择性必修第二册
第5章导数及其应用 · 保留教材主线与原题
教材与正式教参整合
如果能够求出函数 的导数 ,那么求该函数在某点处导数的问题就可以通过简单的代入求值来解决.
根据导数的定义, 可以求出一些基本初等函数的导数.
例 1 求常数函数 的导数.
解 记 . 当 时,
因此,当 趋近于 0 时, .
对于例 1 中的函数 ,坐标平面中的相应曲线 是平行于 轴的直线 ,连接该直线上任何两点的割线都是这条直线本身, 从而该直线上任何一点处的切线也是这条直线本身. 由此可见, 该直线上任何一点处的切线的斜率都是 0 , 即对任何给定的 ,都有 . 由此推出 . 这就从导数的几何意义诠释了例 1 的结论.
类似的分析适用于函数 . 记 . 直线 上任何一点处的切线都是这条直线本身,从而都具有斜率 ,即对任何给定的 ,都有 . 由此推出 . 这个从几何上推出的结论也可用导数的定义来验证.
常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数被称为基本初等函数.
例 2 求函数 的导数.
例 3 求下列幂函数 的导数,其中:
(1) ； (2) ； (3) .
解(1)当 时，
因此,当 趋近于 0 时, .
(2)当 时，
因此,当 趋近于 0 时, .
(3)当 时,
因此,当 趋近于 0 时, .
为了更便捷地处理求导问题, 我们通常将以下基本初等函数的导数作为公式使用:
(1) ， 为常数；
(2) 为常数；
(3) ；
(4) ；
(5)
(6) .
我们已经推导了公式(1)以及公式(2) 的一些特殊情况. 如果对这些公式的完整推导过程感兴趣, 可参阅高等数学的有关教科书.
例 4 已知函数 ,其中 . 求 .
例 5 求正弦函数 的驻点.
(1) ； (2) .
在我们熟悉的基本初等函数中, 有哪些函数的图像存在水平切线? 有哪些函数的图像在所有点处切线的斜率均大于 0 ? 尝试从导数公式和函数图像两个角度进行探究.
基本初等函数可以通过四则运算产生新的初等函数. 这些初等函数的求导可以通过以下的“导数四则运算法则”归结为基本初等函数的求导.
对函数 与 ,以下等式成立:
(7) ;
(8) ;
(9) ,其中 .
用导数的定义可以推导出这些公式. 这里只推导关于积的求导公式(8)，其余的留给有兴趣的同学自行完成.
由导数的定义,
于是可得
所以,当 趋近于 0 时,就有
例 6 证明: 对函数 与任何常数 ,都有
证明 用积的求导公式和常数函数的求导公式, 得到
例 7 求下列函数 的导数，其中:
(1) ；___
(2) ；
(3) .
解 (1) 用积的求导公式以及幂函数与正弦函数的求导公式, 得到
(2)用商的求导公式、和的求导公式以及幂函数与常数函数的求导公式, 得到
(3)先把函数表达式展开，得 ，再用和、
差的求导公式、公式 (10) 以及幂函数与常数函数的求导公式, 得到
例 8 设实数 且 ,求证: .
证明 先用换底公式,有 ,再由公式 (10) 以及对数函数的求导公式, 得到
在对复合函数求导数时, 往往不是把两个预先给定的函数先复合成较复杂的函数, 然后直接求导, 而是反过来, 先引进一个中间变量, 把原来的函数看作两个相对简单的函数的复合, 再利用复合函数的求导法则求其导数, 从而使求导过程得到简化. 例如,函数 可看作由函数 与 复合而成,而函数 可看作由函数 与 复合而成.
我们不讨论一般复合函数的求导问题,仅考虑由 与 复合而成的 型复合函数的求导法则.
因为当 时,有
且注意到 趋近于 0 当且仅当 趋近于 0 ，所以
这就给出了 型复合函数的如下求导法则:
(11) ,其中 .
例 9 求 的导数.
解 将 看作由 与 复合而成, 则
例 10 设实数 且 ,求证: .
(1) ; (2) .
(1) ； (2) .
按以下步骤探究复合函数求导的一般规律:
分别求 与 的导数,并探索三个导数之间的联系;
分别求 与 的导数,并探索三个导数之间的联系;
根据上述两个特例, 猜想复合函数求导的一般规律, 并用一些实例验证你的猜想.
(1) ； (2) ；
(3) .
(1)求点 的坐标； (2)判断 的正负.
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
(1) ； (2)
(3) .
(1) ； (2) ；
(3) .
(1)当 时，求该动物体温的瞬时变化率；
(2)在哪一时刻该动物体温的瞬时变化率是 ？(结果精确到 )
(1)求这段时间内火车行驶的加速度；
(2)火车行驶到哪一时刻，其加速度为 ？
(1) ； (2) .
2.(1)不是,因为导数恒大于零. (2)是, .
(1)写出气球半径 关于气球内空气容量 的函数表达式；
(2)求 时，气球的瞬时膨胀率(即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率).
(1) ; (2) .
(1)求 ，并解释其实际意义；
(2)已知摄氏度 与华氏度 (单位: 】满足函数关系 ，求 关于 的导数, 并解释其实际意义.
6.(1)一32 ,汽水放入冰箱后 1 小时左右,温度大约以 ℃/h的速度降低. (2) ,汽水放入冰箱后 小时左右,温度大约以 的速度降低.
(1) ; (2) .