例题 1
例 1 求常数函数 的导数.
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 5.2
学生阅读版 / 沪教版高中数学
导数的运算.
选择性必修第二册
第5章导数及其应用 · 保留教材主线与原题
导数的运算
教材与正式教参整合
如果能够求出函数 的导数 ,那么求该函数在某点处导数的问题就可以通过简单的代入求值来解决.
1 基本初等函数的导数
根据导数的定义, 可以求出一些基本初等函数的导数.
例题 2
例 2 求函数 的导数.
例题 3
例 3 求下列幂函数 的导数,其中:
(1) ； (2) ； (3) .
例题 4
例 4 已知函数 ,其中 . 求 .
例题 5
例 5 求正弦函数 的驻点.
练习 5.2(1)
练习5.2(1) · 1
- 用导数的定义求函数 的导数.
练习5.2(1) · 2
- 用公式求下列函数 的导数,其中:
(1) ； (2) .
练习5.2(1) · 3
- 求余弦函数 在 处的导数.
练习5.2(1) · 4
- 证明函数 与 没有驻点.
探究与实践
在我们熟悉的基本初等函数中, 有哪些函数的图像存在水平切线? 有哪些函数的图像在所有点处切线的斜率均大于 0 ? 尝试从导数公式和函数图像两个角度进行探究.
2 导数的四则运算
基本初等函数可以通过四则运算产生新的初等函数. 这些初等函数的求导可以通过以下的“导数四则运算法则”归结为基本初等函数的求导.
对函数 与 ,以下等式成立:
(7) ;
(8) ;
(9) ,其中 .
用导数的定义可以推导出这些公式. 这里只推导关于积的求导公式(8)，其余的留给有兴趣的同学自行完成.
由导数的定义,
于是可得
所以,当 趋近于 0 时,就有
例题 6
例 6 证明: 对函数 与任何常数 ,都有
例题 7
例 7 求下列函数 的导数，其中:
(1) ；___
(2) ；
(3) .
例题 8
例 8 设实数 且 ,求证: .
练习 5.2(2)
求下列函数 的导数,其中:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ; (6) ；
(7) ; (8) .
3 简单复合函数的导数
在对复合函数求导数时, 往往不是把两个预先给定的函数先复合成较复杂的函数, 然后直接求导, 而是反过来, 先引进一个中间变量, 把原来的函数看作两个相对简单的函数的复合, 再利用复合函数的求导法则求其导数, 从而使求导过程得到简化. 例如,函数 可看作由函数 与 复合而成,而函数 可看作由函数 与 复合而成.
我们不讨论一般复合函数的求导问题,仅考虑由 与 复合而成的 型复合函数的求导法则.
因为当 时,有
且注意到 趋近于 0 当且仅当 趋近于 0 ，所以
这就给出了 型复合函数的如下求导法则:
(11) ,其中 .
例题 9
例 9 求 的导数.
例题 10
例 10 设实数 且 ,求证: .
练习 5.2(3)
练习5.2(3) · 1
- 利用 型复合函数的求导法则求下列函数的导数:
(1) ; (2) .
练习5.2(3) · 2
- 尝试用两种不同的方法求 的导数.
练习5.2(3) · 3
- 求曲线 在点 处的切线方程.
练习5.2(3) · 4
- 求下列函数的导数:
(1) ； (2) .
探究与实践
按以下步骤探究复合函数求导的一般规律:
-
分别求 与 的导数,并探索三个导数之间的联系;
-
分别求 与 的导数,并探索三个导数之间的联系;
-
根据上述两个特例, 猜想复合函数求导的一般规律, 并用一些实例验证你的猜想.
习题 5.2
A 组
习题5.2A · 1
- 求下列函数 的导数:
(1) ； (2) ；
(3) .
习题5.2A · 2
- 求曲线 在 处的切线方程.
习题5.2A · 3
- 已知曲线 在原点以外某点 处切线的斜率为 .
(1)求点 的坐标； (2)判断 的正负.
习题5.2A · 4
- 求曲线 平行于 轴的切线及其切点坐标.
习题5.2A · 5
- 求曲线 平行于直线 的切线及其切点坐标.
习题5.2A · 6
- 求下列函数 的导数:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
习题5.2A · 7
- 用两种方法求函数 的导数.
习题5.2A · 8
- 已知函数 与 满足条件 与 . 对于下列函数 ,求 和 :
(1) ； (2)
(3) .
习题5.2A · 9
- 利用 型复合函数的求导法则,求下列函数的导数:
(1) ； (2) ；
(3) .
习题5.2A · 10
- 用两种方法求函数 的导数.
习题5.2A · 11
- 某种动物的体温 (单位:℃)与太阳落山后经过的时间 (单位:min) 满足函数关系 .
(1)当 时，求该动物体温的瞬时变化率；
(2)在哪一时刻该动物体温的瞬时变化率是 ？(结果精确到 )
习题5.2A · 12
- 已知某港口一天内潮水的深度 (单位: ) 与时间 (单位: ) 近似满足函数关系 . 分别求上午 6 时与下午 6 时潮水涨(落) 的速度.
B 组
习题5.2B · 1
- 已知一列火车从静止开始加速的一段时间内,其行驶速度 (单位: )与行驶时间 (单位: )满足函数关系 .
(1)求这段时间内火车行驶的加速度；
(2)火车行驶到哪一时刻，其加速度为 ？
习题5.2B · 2
- 直线 是下列函数的切线吗? 如果是,请求出 的值; 如果不是,请说明理由.
(1) ； (2) .
习题5.2B · 3
- 吹一个球形的气球时,气球半径 将随空气容量 的增加而增大.
(1)写出气球半径 关于气球内空气容量 的函数表达式；
(2)求 时，气球的瞬时膨胀率(即气球半径关于气球内空气容量的瞬时变化率).
习题5.2B · 4
- 判断下列求导结果是否正确. 如果不正确, 请指出错在哪里, 并予以改正.
(1) ; (2) .
习题5.2B · 5
- 求过点 且与曲线 相切的直线的方程.
习题5.2B · 6
- 已知一罐汽水放入冰箱后的温度 (单位: ) 与时间 (单位: ) 满足函数关系
(1)求 ，并解释其实际意义；
(2)已知摄氏度 与华氏度 (单位: 】满足函数关系 ，求 关于 的导数, 并解释其实际意义.
习题5.2B · 7
- 求下列函数 的导数,其中:
(1) ; (2) .