导数及其应用

初等数学可以帮助我们对匀速运动进行描述和分析, 也能够顺利解决一些具有规则形状的物体的度量问题. 然而, 人类在实际生活中所面临的问题往往更为复杂. 例如, 运动中速度可以不断变化, 图形的边界不再具有规则的形状，等等. 要处理这一类问题，本质上要有处理变化和变化中的瞬时状态的数学工具, 这就需要用到高等数学, 特别是微积分的知识.

由于系统深入地介绍高等数学的内容不是高中课程所能承担的任务，因此本章将用比较直观和粗略的方式引入微积分中的一个最基本的概念——导数，为研究函数性质提供一个有力的工具，并展示其在解决变速运动等现实问题中的一些应用.

由于知识基础不足且为了避免产生理解上的困难及误导，本章中的某些结论没有给出证明, 而仅作形式化的表述. 希望同学们对导数的基本内涵及其应用有所认识和体会，并对未来在大学课程中继续深入学习微积分抱有渴望.

在本节中, 我们将学习如何刻画运动物体的瞬时速度, 以及如何确定一条曲线上一点处的切线, 通过这些例子初步认识导数这一表示函数瞬时变化率的数学概念.

当物体作匀速运动时,运动的速度 等于距离 除以运动时间 ,即 . 但是,如果一个作变速运动的物体在时间段 内的运动距离是 ,上面的公式所给出的只能是这段运动过程中运动物体的平均速度 .

图 5-1-1

当我们乘坐高铁时, 常常会在车厢内看到如图 5-1-1 所示的列车信息显示屏. 如何理解图中“速度 ”呢?

仅用一个时间段内的平均速度难以准确地描述在该时间段内变速运动的过程. 为了精准地描述变速运动, 一个自然的想法是把整个运动时间分割成若干个小的时间段, 并分别求每个时间段内的平均速度. 可以想象, 随着时间段的分割越来越精细, 利用分段的平均速度就可以越来越精确地对整个运动过程进行描述.

以自由落体运动为例，已知物体下落的距离 (单位: ) 与时间 (单位: )满足函数关系 ,其中 是重力加速度. 若近似地取 ,则 .

考虑从 到 (用区间符号记作 )时间段内的自由落体运动. 它的平均速度是 . 如果把这段时间分成 与 两段，那么在这两个时间段内自由落体的平均速度分别是 与 . 而如果以 为间隔把 分为 4 个时间段,可以得出这 4 个时间段内的平均速度分别是 与 27.5 m/s. 由此可见，随着时间段的不断细分，自由落体的运动状态确实得到了越来越精确的描述. 这种做法其实蕴含着 “极限” 这个朴素而深刻的思想.

用瞬时速度的说法, 图 5-1-1 中所示的高铁速度可解释为: 在 9 时 30 分的某一瞬间(列车信息屏的时间显示只精确到分，但瞬时速度在时间上的精确度远高于分), 列车以 303 km/h 的瞬时速度前进.

例 1 告诉我们, 研究运动物体的瞬时速度, 本质上就是在已知函数关系 的前提下,对于自变量某个给定值 ,赋予 一个变化量 ,分析当 趋近于 0 时,函数值的变化量 相对于自变量变化量 的比值 是否趋近于某个稳定值.

如果这个稳定值存在,就说明 在 趋近于 0 时有极限,并把这个极限值记作 ,称为函数 在 处的导数 (derivative),记作 , 即有

因此,在满足函数关系 的运动中,函数 在 处的导数 就是 时刻的瞬时速度.

一般地,对于一个函数 ,通常将 称为函数 在以 和 为端点的区间上的平均变化率, 而 就是函数 在 处的瞬时变化率. 平均变化率反映了一个函数在一个区间上的平均变化情况,而瞬时变化率则反映了该函数在某个自变量 处的瞬时变化情况.

在上一节中谈到, 在研究物体的变速运动时, 我们可以通过把时间分成若干个小的时间段, 并计算每个时间段内物体的平均速度, 以近似地描述物体的运动状况. 当时间段的划分越来越细时, 对运动的描述就越来越精确. 特别地, 在一个时间点附近的时间段越来越小时, 如果相应的平均速度趋近于一个稳定值, 这个稳定值就是运动物体在这个时间点的瞬时速度.

在几何学中有类似的情境:为了研究一条曲线的特性，我们可以把曲线划分成小段, 并把连接每一小段两端点的线段看作曲线的这一小段的近似. 当曲线的划分越来越细时, 由这些小线段所连接起来的折线就越来越接近于原来的曲线.

图 5-1-2

切线这个术语我们并不陌生, 在平面几何的学习中已定义过圆的切线, 并讨论过它的性质. 那里所定义的圆的切线是否与上面这个新定义一致呢?

图 5-1-3