章末阅读、内容提要与复习题.

1. 填空题:

(1)已知数列 是等差数列，下面的数列中必为等差数列的序号是___.

① ② ③ ④

(2)已知数列 是等比数列，下面的数列中必为等比数列的序号是___.

① ② ③ ④

2. 选择题:

(1)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题: “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯的盖数是上一层灯的盖数的 2 倍, 则塔的顶层灯的盖数是 ( )

A. 1; B. 3; C. 5; D. 9.

(2)已知数列 ，若 ，且 ( 为正整数)，则数列的第 35 项为 ( )

A. 6 ; B. -3 ; C. -12; D. -6.

3. 在等差数列 中,已知公差 ,且 . 求 的值.

4. 已知存在常数 ,使得等差数列 的前 项和为 . 求该数列 的通项公式.

5. 设 为等差数列 的前 项和,求证: 数列 是等差数列.

6. 已知数列 是等差数列,且 . 求 .

7. 已知等差数列 的前 项和为 ,且满足 . 这个数列的前多少项和最大? 并求此最大值.

8. 在 2 与 9 之间插入两个数, 使前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列. 试写出这个数列.

9. 已知数列 是等比数列,且 成等差数列. 求数列 的公比.

10. 用数学归纳法证明:

11. (1) 依次计算下列各式的值:

(2)根据(1)中的计算结果，猜想

的表达式, 并用数学归纳法证明相应的结论.

1. 选择题:

(1)已知 和 均为等差数列，而 为等比数列，且 ， 则 的值等于 ( )

A. 1 ; B. 2; C. 3; D. 4.

(2)已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且满足 ， 则使得 为整数的正整数 的个数为 ( )

A. 2 ; B. 3; C. 4; D. 5.

2. 已知 是等比数列 的前 项和,且 成等差数列. 求证: , 成等差数列.

3. 已知在等差数列 中, .

(1)求证: 对一切小于 19 的正整数 都成立;

(2)类比上述性质，在等比数列 中，若 ，可以得到什么结论？

4. 已知数列 的各项均为正数， ，且 .

(1)求证:数列 是等差数列；

(2)若数列 满足 求数列 中的最大项与最小项.

5. 已知数列 的前 项和为 ,且 . 求证: 数列 为等差数列.

6. 用数学归纳法证明:

7. 是否存在常数 ,使等式

对任意正整数 都成立? 证明你的结论.

1. 如图所示, 有三根直杆和套在一根直杆上的若干金属片, 把金属片按下列规则从一根直杆上全部移到另一根直杆上:

① 每次只移动 1 个金属片;

② 较大的金属片不能放在较小的金属片上面.

试推测: 把 个金属片从 1 号直杆移到 3 号直杆,最少需要移动多少次?

(第 1 题)

2. 如图, 将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分, 以中间一段为边向外作正三角形, 并擦去中间这一段, 如此继续下去得到的曲线称为科克雪花曲线. 将下面的图形依次记作 .

(1)求 的周长;

(2)求 的面积；

(3)当 时,科克雪花曲线所围成的图形是周长无限增大而面积却有极限的图形吗? 若是, 请求出其面积的极限; 若不是, 请说明理由.

(第 2 题)