复习题A · 1
- 求连接点 与点 的线段 的中点 的坐标.
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION chapter-end-3
学生阅读版 / 沪教版高中数学
章末阅读、内容提要与复习题.
选择性必修第一册
第3章空间向量及其应用 · 保留教材主线与原题
章末阅读、内容提要与复习题
教材与正式教参整合
- 空间向量的概念与运算
(1)空间向量的定义和相关概念(模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、负向量等)与平面向量情形相同.
(2)对只与一组共面向量相关的问题，有关平面向量的定义与结论均适用. 特别地， 平面向量运算(加法、减法、与实数的乘法、数量积)的定义与性质直接适用于空间向量.
- 向量共面的充要条件与空间向量基本定理
(1)向量共面的充要条件:如果 与 是两个不平行的向量，那么空间中的向量 与 共面的充要条件是:存在唯一的一对实数 与 ，使得 .
(2)空间向量基本定理:如果 与 是不共面的向量，那么对于空间中任一向量 ,存在唯一的一组实数 与 ,使得 . 也就是说,空间任意三个不共面的向量都组成空间向量的一个基.
- 空间向量的坐标表示
(1)空间向量的坐标表示:建立空间直角坐标系，把向量 的起点放在坐标原点，该向量就直接用它的终点坐标 表示为 ，这个表示的意义是: 是坐标轴正方向上的单位向量 与 的线性组合 .
(2)给定空间两点 与 ，则 .
- 坐标表示下的空间向量运算
设向量 ,则
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
- 空间向量的夹角、平行与垂直
设向量 均为非零向量，则
(1) ;
(2) ；
(3) .
- 空间向量在立体几何中的应用
空间中的直线和平面可以分别通过方向向量和法向量与空间向量联系起来，从而把立体几何的许多问题化为向量的问题加以解决.
(1)空间直线与平面之间的平行与垂直
(2)求距离
① 平面外一点 到平面的距离 由公式
给出，其中 是平面的一个法向量， 是平面上任意一点.
② 平面的平行线到平面的距离、平行平面间的距离均化为点到平面的距离来处理.
(3)求角的大小
复习题
A 组
复习题A · 2
- 在正四面体 中, 为 的中点, 为 的中点. 试用向量 、 来表示 .
复习题A · 3
- 给定点 与点 .
(1)求 在 方向上的投影向量；
(2)求点 到平面 的距离.
复习题A · 4
- 如图,在正三棱柱 中, , 是 的中点,点 在 上,且 .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求直线 和平面 所成角的大小.
(第 4 题)
复习题A · 5
- 已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 . 求侧面与底面所成二面角的大小.
复习题A · 6
- 如图,已知 是底面边长为 1 的正四棱柱, 是 和 的交点.
(1)设 与底面 所成角的大小为 ，二面角 的大小为 . 求证: ;
(2)若点 到平面 的距离为 ，求此正四棱柱的高.
(第 6 题)
复习题A · 7
- 如图，在直三棱柱 中， ， .
(1)求证: ；
(2)求点 到平面 的距离.
(第 7 题)
复习题A · 8
- 如图,四棱锥 的底面 为梯形, , ,且 平面 .
(1)求异面直线 与 所成角的大小；
(2)求四棱锥 的体积.
(第 8 题)
复习题A · 9
- 如图,在直三棱柱 中, , 为 的中点, 为 上的点,且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)求二面角 的大小.
(第 9 题)
B 组
复习题B · 1
- 在长方体 中, 与 所成的角为 . 求 与平面 所成角的大小.
复习题B · 2
- 如图,在平行六面体 中,点 分别在 和 上,且
(1)求证: 、 、 、 四点共面；
(2)若 ，求 的值.
(第 2 题)
复习题B · 3
- 如图,在正方体 中, 分别是 的中点.
(1)求证:四边形 是菱形；
(2)求异面直线 与 所成角的大小.
(第 3 题)
复习题B · 4
- 在正方体 中, 分别是 的中点.
(1)求证:点 在平面 上；
(2)求平面 与底面 所成二面角的大小.
拓展与思考
拓展与思考 · 1
- 如图, 为正方体,动点 在对角线 上,记 .
(1)求证: ；
(2)若异面直线 与 所成角为 ，求 的值；
(3)当 为钝角时,求 的取值范围.
(第 1 题)
拓展与思考 · 2
- 如图,平行六面体 的底面 是正方形, 为底面的中心, 平面 ,
(1)求证: 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成二面角的大小.
(第 2 题)