例题 1
例 1 用数学归纳法证明:
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证明 (1) 当 时,左边 ,右边 ,等式成立.
(2)假设当 ( 为正整数)时，等式成立，即有
那么当 时,就有
等式也成立.
根据(1)和(2)，由数学归纳法就可以断定 对任意正整数 都成立.
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 4.4
教师整合版 / 沪教版高中数学
数学归纳法.
选择性必修第一册
第4章数列 · 保留教材主线与原题
数学归纳法
教材与正式教参整合
1 数学归纳法
已知数列 满足 ,且 , . 利用数列的递推公式,可以得到 , ,进而猜想数列 的通项公式应为 .
我们先从多米诺骨牌说起. 这是一种码放骨牌的游戏, 码放时要保证任意相邻的两块骨牌, 若前一块骨牌倒下, 则后一块骨牌也要跟着倒下. 因此, 只要推倒第一块骨牌, 由于第一块骨牌倒下，可以导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下， 又可导致第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下. 综上所述, 在这个游戏中欲使所有多米诺骨牌全部倒下, 只需满足以下两个条件:
(1)第一块骨牌倒下;
(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
类似地,为证明前述数列的通项公式是 的这个猜想, 可类比多米诺骨牌这个游戏, 将
证得 类似于 第一块骨牌倒下;
证得 类似于 第二块骨牌倒下;
......
证得 类似于 第 块骨牌倒下.
因此,为证明数列 的通项公式是 ,即 对于一切正整数 均成立,就类似于要使所有的骨牌均倒下. 在 时猜想成立，就相当于游戏的条件( 1 )，而类似于条件( 2 )， 就要证明下面的一个递推关系:
如果 ( 为正整数) 时上述猜想成立,即 成立, 那么当 时该猜想也成立,即 成立.
事实上,如果 ,那么
即 时猜想也成立.
这样,就可以得到对任意的正整数 ,猜想都成立,即数列 的通项公式为 .
一般地,证明一个与正整数 有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)证明当 取第一个值 ( 为正整数)时，命题成立；
(2)假设当 ( ， 为正整数)时命题成立，证明当 时命题也成立.
数学归纳法是证明有关正整数命题的一种方法. 步骤 (1) 是命题论证的基础, 而步骤 (2) 是判断命题的正确性能否递推下去的保证. 这两个步骤是缺一不可的.
例题 2
例 2 用数学归纳法证明:
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证明 (1) 当 时,左边 ,右边 , 等式成立.
(2)假设当 ( 为正整数)时，等式成立，即有
那么当 时,就有
等式也成立.
根据(1)和(2)，由数学归纳法就可以断定 对任意正整数 都成立.
在数学归纳法的证明中,由 时等式成立,到 时等式也成立,最后到对所有正整数 等式都成立. 请注意“等式成立”“等式也成立” “等式都成立”之间的递推关系和逻辑关系， 以及“也”和“都”这两个副词的作用.
练习 4.4(1)
练习4.4(1) · 1
- 请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误.
(1)设 为正整数，求证: .
证明: 假设当 ( 为正整数) 时等式成立,即有
那么当 时,就有
因此,对于任意正整数 等式都成立.
(2)设 为正整数，求证: .
证明: ① 当 时,左边 ,右边 ,等式成立.
② 假设当 ( 为正整数) 时，等式成立，即有
那么当 时,由等比数列求和公式,就有
等式也成立.
根据①和②，由数学归纳法可以断定 对任意正整数 都成立.
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- (1)错误在于缺少数学归纳法步骤(1)(归纳基础). 实际上,当 时,左边 ,而右边 ,等式不成立. 这个命题是错误的命题.
(2)【编辑补全原教参残句】原教参指出递推论证未使用归纳假设，随后止于“这意味”，此处据完整题面补全并说明逻辑边界：题中的步骤直接调用等比数列求和公式，没有展示怎样从 时的等式递推到 时的等式。若该求和公式已经独立证明，所列计算本身正确，可构成直接证明，不能只因没有使用归纳假设就说结论错误；但若正在用数学归纳法证明这一求和公式，就不能再把待证公式作为依据。
按题目要求写出归纳递推，应由归纳假设得到
这里把前 项的和替换为 ，才明确使用了归纳假设。结合已验证的 ，便完成数学归纳法证明。
练习4.4(1) · 2
- 用数学归纳法证明:
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- 略.
练习4.4(1) · 3
- 用数学归纳法证明:
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- 略.
2 数学归纳法的应用
我们已经学习了用数学归纳法证明一些命题, 但是这些命题又是如何得到的呢? 在数学的探索中, 为了寻求一般的规律, 往往先考虑一些特例, 进行归纳, 形成猜想, 再去证明这些猜想正确与否. 一般与正整数有关的命题也可以通过这样的途径得到.
“大胆猜想、小心求证”是科学研究的基本方法. 纵观数学发展的历史，很多著名的数学结论都经历了先猜想再证明的过程.
例题 3
例 3 已知数列 满足 尝试通过计算数列 的前四项,猜想数列 的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
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解 已知 ,利用递推公式计算得
由此猜想,对任意正整数 ,都有 .
下面用数学归纳法证明这一猜想.
(1)当 时, ，所以猜想成立.
(2)假设 ( 为正整数)时，猜想成立，即有
那么当 时,就有
猜想也成立.
根据(1)和(2)，由数学归纳法就可以断定 对任意正整数 都成立,这就是该数列的通项公式.
例 4 是否存在常数 ,使等式
对任意正整数 都成立?
解 假设存在常数 ,使上述等式对任意正整数 都成立. 当 时,有
即
①
当 时,有
即
②
当 时,有
即
③
联立①②③，解关于 的三元一次方程组得
由此猜想
对任意正整数 都成立.
下面用数学归纳法证明这一猜想.
(1)当 时,左边 ,右边 ,等式成立.
(2)假设当 ( 为正整数)时，等式成立，即有
那么当 时,就有
等式也成立.
根据(1)和(2)，由数学归纳法可以断定 对任意正整数 都成立.
练习 4.4(2)
练习4.4(2) · 1
- 已知数列: ,设 为该数列的前 项和. 计算 的值; 根据计算的结果,猜想
的表达式, 并用数学归纳法加以证明.
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练习4.4(2) · 2
- 已知数列 满足 .
(1)求 ；
(2)猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
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练习4.4(2) · 3
- 是否存在常数 、 ，使等式
对任意正整数 都成立? 证明你的结论.
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习题 4.4
A 组
习题4.4A · 1
- 用数学归纳法证明 为正整数 . 在验证 等式成立时,等式左边为 ( )
A. 1; B. ; C. ; D. .
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- C.
习题4.4A · 2
- 用数学归纳法证明:
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- 略.
习题4.4A · 3
- 用数学归纳法证明:
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- 略.
习题4.4A · 4
- 已知数列 满足 ,设该数列的前 项和为 ,且 成等差数列. 用数学归纳法证明: ( 为正整数).
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- 略.
B 组
习题4.4B · 1
- 用数学归纳法证明:
( 为正整数).
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- 略.
习题4.4B · 2
- 已知数列 满足 ,且对任意正整数 成立. 试用数学归纳法证明: .
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- 略.
习题4.4B · 3
- 设 ,是否存在一次函数 ,使得等式
对大于 1 的正整数 都成立? 证明你的结论.