数学归纳法.

已知数列 满足 ,且 , . 利用数列的递推公式,可以得到 , ,进而猜想数列 的通项公式应为 .

我们先从多米诺骨牌说起. 这是一种码放骨牌的游戏, 码放时要保证任意相邻的两块骨牌, 若前一块骨牌倒下, 则后一块骨牌也要跟着倒下. 因此, 只要推倒第一块骨牌, 由于第一块骨牌倒下，可以导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下， 又可导致第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下. 综上所述, 在这个游戏中欲使所有多米诺骨牌全部倒下, 只需满足以下两个条件:

(1)第一块骨牌倒下;

(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.

类似地,为证明前述数列的通项公式是 的这个猜想, 可类比多米诺骨牌这个游戏, 将

证得 类似于 第一块骨牌倒下;

证得 类似于 第二块骨牌倒下;

......

证得 类似于 第 块骨牌倒下.

因此,为证明数列 的通项公式是 ,即 对于一切正整数 均成立,就类似于要使所有的骨牌均倒下. 在 时猜想成立，就相当于游戏的条件( 1 )，而类似于条件( 2 )， 就要证明下面的一个递推关系:

如果 ( 为正整数) 时上述猜想成立,即 成立, 那么当 时该猜想也成立,即 成立.

事实上,如果 ,那么

即 时猜想也成立.

这样,就可以得到对任意的正整数 ,猜想都成立,即数列 的通项公式为 .

一般地,证明一个与正整数 有关的命题,可按下列步骤进行:

(1)证明当 取第一个值 ( 为正整数)时，命题成立；

(2)假设当 ( ， 为正整数)时命题成立，证明当 时命题也成立.

数学归纳法是证明有关正整数命题的一种方法. 步骤 (1) 是命题论证的基础, 而步骤 (2) 是判断命题的正确性能否递推下去的保证. 这两个步骤是缺一不可的.

我们已经学习了用数学归纳法证明一些命题, 但是这些命题又是如何得到的呢? 在数学的探索中, 为了寻求一般的规律, 往往先考虑一些特例, 进行归纳, 形成猜想, 再去证明这些猜想正确与否. 一般与正整数有关的命题也可以通过这样的途径得到.

“大胆猜想、小心求证”是科学研究的基本方法. 纵观数学发展的历史，很多著名的数学结论都经历了先猜想再证明的过程.