数列.

解 我们可根据相应的通项公式, 用列表法分别写出这两个数列的前 5 项.

公差为正数的等差数列为严格增数列; 公差为负数的等差数列为严格减数列; 公差为零的等差数列为常数列.

表 4-2

解( 1 )因为

所以 . 从而数列 为严格减数列.

(2)因为

所以 . 从而数列 为严格增数列.

解 因为

所以当 时, ; 当 时, ; 当 时, .

于是,数列 的最大项为第 8 项和第 9 项,其值为 .

2. . 数列 的一个通项公式为 .

3. . 当 时, ; 当 时, ; 当 时, .

因此,该数列的最小项为第 3 项和第 4 项,其值为 .

解 (1) 我们先通过观察 、 2、3 时的图形来探究 的情况.

图 4-3-3

从图 4-3-3 中可以看出:

当 时,第 1 条直线将平面分为两个部分,所以

当 时,第 2 条直线与前面的 1 条直线相交,有 1 个交点. 这个交点将第 2 条直线分成 2 段, 且每一段将原有的平面部分进一步多分出两个部分, 所以

当 时,第 3 条直线与前面的 2 条直线都相交,有 2 个交点. 这 2 个交点将第 3 条直线分成 3 段, 且每一段将原有的平面部分进一步多分出三个部分, 所以

依此类推: 第 条直线与前面的 条直线都相交, 有 个交点. 这 个交点将第 条直线分成 段,且每一段将原有的平面部分进一步多分出 个部分,所以

这样,数列 可以用下面的递推公式表示:

(2)由上述递推公式, 有

...

由上述等式以及 ,可得

当 时,由于 ,上面的等式也成立.

所以,数列 的通项公式为 .

解 (1) 证明: 已知递推公式 .

在上述等式两边同时加 1 , 得

由递推公式,易证 ,于是 , 故 . 所以,数列 是以 为首项、以 2 为公比的等比数列.

(2)因为数列 是以 为首项、以 2 为公比的等比数列, 所以

从而 ,这就是数列 的一个通项公式.

1. (1) .

(2)

3. (1)当 时,首项为 . 当 时, .

显然 ,进而 . 故 为常数.

因此,数列 是以 4 为首项、以 2 为公比的等比数列.

(2)由(1), ,故 .

1. (1) .

(2) .

2. 由 ,解得 (负根已舍). 所以 是该数列的第 15 项.

3. (1) .

(2) ,最小项为 .

4. 因为 ,所以,当 时, ；当 时, .

于是,该数列第 3 项为最大项,而 ,且 ,所以数列 无最小项.

5. 数列 的通项公式为 .

6. 数列 中的最小项为第 6 项 .

7. (1) 73 个.

(2)设每次挖掉的正方形的个数所构成的数列为 . 该数列满足的递推公式为 或 ,数列 可以表示为:

1. 数列 的最大项为第 10 项, ,最小项为第 9 项,

2. .

3. 数列 的通项公式为

4. (1)数列 的通项公式为 .

(2)提示:因为数列 的最大项为 ,所以不存在正整数 ,使得 成立.

5. 设从第 1 年年初算起,该厂第 年底的剩余资金为 万元,则 ,而经过 5 年底的剩余资金为 万元. 设这家皮革厂每年应扣除消费基金 万元,则 ,变形为 ,所以 是以 1.5 为公比的等比数列, ,根据题意知 2000,解得 万元.

所以这家皮革厂每年应扣除消费基金 424 万元, 才能实现资金经过 5 年达到 2000 万元的目标.