例题 1
例 1 证明: 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直.
已知 如图 3-4-1, 是平面 的一条斜线, 是 在 上的投影，直线 在平面 上.
求证 当且仅当 .
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 3.4
学生阅读版 / 沪教版高中数学
空间向量在立体几何中的应用.
选择性必修第一册
第3章空间向量及其应用 · 保留教材主线与原题
空间向量在立体几何中的应用
教材与正式教参整合
空间向量常常可为解决立体几何中的有关问题提供简捷方便的方法. 在本章 3.2 节的例 2 中就非常方便地利用向量证明了直线与平面垂直的判定定理.
本节继续介绍空间向量在立体几何中的一些应用. 如下一些与直线和平面相关的向量是很重要的.
直线的方向向量:与直线平行的任何非零向量.
平面的法向量: 垂直于平面的任何非零向量.
用向量方法解决有关直线和平面的问题, 一般先把相应的问题化为关于上述这些向量的问题然后加以解决. 建立一个适当的空间直角坐标系常常是有效的辅助手段, 特别是在需要数值求解的问题上.
1 判断空间直线、平面的位置关系
下面的结论是显然的:
这样, 就把直线间的平行或垂直关系化为向量的平行或垂直关系. 我们给出一个“简单”的例子——三垂线定理的向量证明， 它的关键就是把直线垂直问题化为向量垂直问题.
图 3-4-1
现在我们把直线与平面的平行与垂直关系用向量描述如下:
两个平面的垂直与平行也可以用向量描述如下:
例题 2
例 2 如图 3-4-2,在正方体 中, 求证:
(1) 平面 平面 ；
(2)平面 平面 .
图 3-4-2
练习 3.4(1)
练习3.4(1) · 1
- 试证明:
(1)两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直；
(2)两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行.
练习3.4(1) · 2
- 如图，在平面 与平面 上分别有不共线的三点 、 、 与 、 、 ，假设 与 交于一点 ,且 . 求证: 平面 平面 .
(第 2 题)
练习3.4(1) · 3
- 如图， 中， ，平面 平面 ， 是边长为 1 的正方形, 分别是 的中点. 求证:
(1) 平面 ；
(2) 平面 .
图 3-4-3
(第 3 题)
2 求距离
我们先证明点到平面距离的一般公式.
用向量的数量积表示, 即
图 3-4-4
例题 3
例 3 如图 3-4-4,在长方体 中,
(1)求顶点 到平面 的距离；
(2)求直线 到平面 的距离.
例题 4
例 4 设正方体 的棱长为 ,求平行平面 与 之间的距离.
练习 3.4(2)
练习3.4(2) · 1
- 已知三棱锥 的三条侧棱 、 、 两两垂直，且 ， 2, . 求顶点 到平面 的距离.
练习3.4(2) · 2
- 在习题 3.4(1)第 3 题的题设条件下，求直线 与平面 的距离.
3 求角的大小
图 3-4-6
例题 5
例 5 如图 3-4-6,在正方体 中, 、 分别是 的中点. 求直线 与 所成角的大小.
立体几何中常见的有关角的问题还有直线与平面所成的角和平面与平面所成的角(二面角). 确定这两类角的大小, 都可以通过转化为直线的方向向量和平面的法向量两个向量夹角的问题加以解决. 当然, 为得到最终的解答, 必须知道所要讨论的角与转化后的向量夹角的关系.
先考虑直线与平面所成的角. 从图 3-4-7 可以看出, 直线与平面垂线(法向量所在直线)所成的角和直线与平面所成的角的关系: 如果直线与平面所成的角为 ,那么直线与平面垂线 (法向量所在直线) 所成的角为 . 因此,如果直线的一个方向向量为 ,平面的一个法向量为 ,那么直线与平面所成的角 由如下公式确定:
图 3-4-7
例题 6
例 6 如图 3-4-8,在四棱锥 中, 平面 , . 求直线 与平面 所成角的大小.
图 3-4-8
练习 3.4(3)
练习3.4(3) · 1
- 如图,四边形 是矩形, 平面 是线段 的中点. 已知 . 求异面直线 与 所成角的大小.
(第 1 题)
练习3.4(3) · 2
- 如图,在棱长为 1 的正方体 中, 是棱 上的动点.
(1)求证: ；
(2)确定点 的位置，使得直线 与平面 所成的角是 .
现在考虑二面角的平面角和它的两个半平面所在平面的法向量夹角大小的关系. 如图 3-4-9, 一个平面的法向量垂直于该平面上的所有直线, 所以法向量夹角的两条边垂直于二面角的平面角相应的边. 从平面几何知道, 这样两个角或者相等, 或者互补.
图 3-4-9
因此,如果 与 分别是两个平面的法向量,那么这两个平面所成的锐二面角 (或直二面角) 由如下公式确定:
(第 2 题)
例题 7
例 7 如图 3-4-10(1),在正四棱锥 中, 分别为 的中点. 若平面 与棱 交于点 ,求平面 与平面 所成二面角的大小.
图 3-4-10
练习 3.4(4)
练习3.4(4) · 1
- 在正方体 中, 分别是 的中点. 求二面角 的大小.
练习3.4(4) · 2
- 如图，在正方体 中，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
(第 2 题)
练习3.4(4) · 3
- 如图,在正四棱锥 中,底面边长为 2,高为 3. 求二面角 的大小.
(第 3 题)
习题 3.4
A 组
习题3.4A · 1
- 在正四棱柱 中, 为 的中点. 求异面直线 与 所成角的大小.
习题3.4A · 2
- 在正方体 中, 分别是 的中点. 求证: 平面 平面 .
习题3.4A · 3
- 在正方体 中,求 与平面 所成角的大小.
习题3.4A · 4
- 如图,已知正三棱柱 的各条棱长均为 是棱 的中点. 求证: 平面 平面 .
(第 4 题)
习题3.4A · 5
- 如图,已知 为平面 外一点, 两两互相垂直,过 的中点 作 平面 ,且 , ,多面体 的体积是 . 求平面 与平面 所成二面角的大小.
(第 5 题)
习题3.4A · 6
- 如图,在直棱柱 中, , 分别是 的中点.
(1)求 与平面 所成角的大小；
(2)求 到平面 的距离.
(第 6 题)
B 组
习题3.4B · 1
- 如图，在空间四边形 中， ， . 求证: .
(第 1 题)
习题3.4B · 2
- 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， 分别为 的中点, 为 上一点, .
(1)求证: ；
(2)求二面角 的大小.
(第 2 题)
习题3.4B · 3
- 在正方体 中,设 的中点分别为 . 求直线 与 所成角的大小.
习题3.4B · 4
- 过边长为 1 的正方形 的顶点 ,作长度为 1 的线段 平面 . 求平面 与平面 所成二面角的大小.
习题3.4B · 5
- 如图,在棱长为 1 的正方体 中, 分别为棱 的中点, 为棱 上的一点. 求点 到平面 的距离.
(第 5 题)