空间向量及其运算.

例 1 如图 3-1-1,在正方体 中, 为棱 上任意一点. 只考虑图上已作出线段所对应的向量, 分别写出:

(1) 的相等向量， 的负向量；

(2)用另外两个向量的和或差表示 ；

(3)用三个或三个以上向量的和表示 (举两个例子).

例 2 如图 3-1-2,在长方体 中,点 在棱 的延长线上,且 . 设 , ,试用 的线性组合表示下列向量:

(1) ；(2) ；(3) ；(4) .

1. 空间中有异面向量的概念吗? 为什么?

2. 如图, 请在图中找出三个不共面的向量.

(第 2 题)

3. 化简下列算式:

(1) ；

(2) .

向量的数量积对向量加法的分配律也涉及三个向量, 它们可能不共面，但是可以仿照平面向量中分配律的证明(见必修课程 8.2 节)给出空间向量情形的证明, 见练习 3.1(2)第 1 题.

图 3-1-3

例 3 如图 3-1-3,已知正方体 的棱长为 是棱 的中点.

(1)求 ；

(2)求 ；

(3)求 与 的夹角的大小；

(4)判断 与 是否垂直.

例 4 底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体, 其特点是六个面都是平行四边形, 且两两互相平行. 如图 3-1-4, 在平行六面体 中,点 在对角线 上,且 ,点 在对角线 上,且 . 求证: 三点共线.

图 3-1-4

1. 如图,棱长为 的正四面体 中, 为棱 的中点. 求 与 .

(第 1 题)

2. 设 是三个空间向量,求证:

1. 在长方体 中, . 写出:

(1)与 有相等模的向量；

(2) 的相等向量；

(3)与 垂直的向量.

2. 如图,在直三棱柱 中, . 将向量 表示为 的线性组合.

(第 2 题)

3. 如图,在正方体 中, 是 的中点,点 在 上,且 . 试用向量 与 的线性组合表示 .

(第 3 题)

4. 已知 与 的夹角都是 ,且 . 计算:

(1)(3 ；

(2) .

5. 已知空间四边形 中, . 求证: .

6. 如图，在四面体 中， 、 、 分别是棱 、 的中点, 分别是棱 的中点, 是线段 的中点. 试判断下列各组中的三点是否共线:

(1) 、 、 ；

(2) 、 、 .

(第 6 题)

1. 如图, 是 所在平面外一点, 是 的重心. 求证: .

(第 1 题)

2. 如图,在三棱锥 中, ,

(1)求 ，并说明异面直线 与 所成的角 的大小在棱 长度增大时是怎样变化的；

(2)若 ，判断点 在平面 上的射影是否可能在直线 上，给出你的结论并加以证明.

(第 2 题)

3. 在空间中还可以讨论一个向量 在一个平面 上的投影. 如图,若 ,点 与点 在平面 上的投影分别是点 与点 ,则 在平面 上的投影就是向量 . 现在给定向量 、平面 以及平面 上的非零向量 . 设向量 在平面 上的投影是向量 ，向量 在向量 方向上的投影是向量 . 求证:向量 是向量 在向量 方向上的投影.

(第 3 题)