椭圆.

椭圆是一类重要的曲线. 早在 1609 年, 德国天文学家开普勒(J. Kepler)就提出了行星运动定律: 每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳转动, 而太阳则处在椭圆的一个焦点上. 生活中我们还可以在许多地方看到椭圆的形状, 如篮球在地面上的影子边界, 圆柱 (台) 形水杯倾斜时液面的边界线, 等等.

图 2-2-1

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当点 重合时,点集 表示一个圆, 所以圆可以看作是椭圆的特殊情形. 但在本章中，除非特殊指出, 所说的椭圆均不包含圆这一特殊情形.

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作为一条平面曲线，椭圆有多种定义方式，我们这里只给出其中的一种. 为此,先做一个简单的实验: 取一段长为 的绳子, 如果把这段绳子的两个端点分别固定在画图板上不同的两点 和 处,当绳长 时,将铅笔尖套在绳子里并拉紧绳子,使笔尖 顺势移动一周,笔尖 画出来的图形就是一个椭圆 (图 2-2-1). 从上面的画图过程可以看出, 椭圆是由到两定点距离之和为定值的点所组成的集合.

Q

图 2-2-2

下面推导椭圆的方程.

以线段 的中点为原点,以 的方向为 轴的正方向, 建立如图 2-2-2 所示的平面直角坐标系. 设椭圆的焦距为 ,则点 的坐标分别为 .

设点 是椭圆上的任意一点,由定义有

因为 ,所以

即

将上式两边平方, 得

整理, 得

两边再平方, 得

整理, 得

因为 ,所以 . 设 ,且 . 我们得到

即

①

上面的推导表明,椭圆上任意一点 的坐标 都是方程①的解；反过来，可以证明以方程①的解为坐标的点都在这个椭圆上(只需将上述推理过程反过来推演即可). 所以，方程①就是这个椭圆的方程,它表示的是焦点在 轴上的椭圆.

图 2-2-3

如果所建立的平面直角坐标系使焦点 在 轴上,设点 的坐标分别为 ,仍然设 , 只要将方程①的 互换，那么所得椭圆(图 2-2-3)的方程为

②

在解析几何中, 可利用曲线的方程研究曲线的几何性质. 我们从椭圆的标准方程

①

出发, 可以得到椭圆的下列性质.

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例 1 为什么有两种椭圆的标准方程?

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图 2-2-4

图 2-2-5

在方程①中，令 ，得 ；令 ，得 . 所以椭圆与两条坐标轴的交点分别是 、 . 这四个点都是椭圆的顶点.

由椭圆的对称性知, 椭圆的长轴和短轴分别所在的直线就是椭圆的两条对称轴.

由方程①可知，椭圆上每一点的坐标 都满足不等式

图 2-2-6

即

这说明椭圆位于直线 和直线 所围成的矩形内(图 2-2-6).

因为 ,所以 . 在 确定的条件下, 越接近于 1,则 越接近于 ,从而 越小,因此椭圆越扁; 反之, 越接近于 0,则 越接近于 0,从而 越接近于 ,这时椭圆就越接近于圆.

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时, , 这时两个焦点重合于椭圆的中心, 椭圆变为圆,其方程为

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例 5 中的 (1), 直线与椭圆有且只有一个公共点. 一般地, 如果一条直线与一个椭圆有且只有一个公共点, 就说这条直线与这个椭圆相切, 这条直线称为这个椭圆的切线. 显然, 如果椭圆的标准方程是 ,那么直线 都是这个椭圆的切线, 其切点分别为椭圆的四个顶点.