章末阅读、内容提要与复习题.

1. 如图, 该几何体是由哪个平面图形旋转得到的？画出其余平面图形旋转得到的几何体.

(A)

(B)

(C)

(D)

(第 1 题)

2. 判断下列命题是否正确，并说明理由:

(1)以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥；

(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台；

(3)圆柱、圆锥、圆台都有两个底面；

(4)圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径.

3. 已知一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆. 用通过圆锥的轴的平面截此圆锥, 求截面三角形的顶角.

4. 过圆锥高的三等分点分别作平行于底面的截面, 求它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比.

5. 在棱长为 1 的正方体上，用过同一顶点的三条棱中点的平面分别截该正方体，截去 8 个三棱锥. 求剩下的几何体的体积.

6. 已知长方体一个顶点上的三条棱长分别是 ,且它的 8 个顶点都在同一球面上. 求这个球的表面积.

7. 在等边圆柱 (底面直径等于高的圆柱) 、球、正方体的体积相等的情况下,讨论它们的表面积的大小关系.

8. 如图,在三棱柱的侧棱 和 上分别取 两点, 使 平分侧面 的面积. 求平面 把棱柱所分成的两部分的体积之比.

(第 8 题)

9. 已知用通过圆锥的轴的平面去截一个圆锥, 得到的截面是面积为 的正三角形. 求此圆锥内接球的半径.

1. 若一个长方体长、宽、高之比为 ,表面积为 22,求它的体积.

2. 如果两个球的体积之比为 8 : 27, 求这两个球的表面积之比.

3. 设点 为圆锥的高靠近顶点的三等分点,求过 与底面平行的截面面积与底面面积之比.

4. 若棱锥的高为 16 , 底面积为 256 , 平行于底面的截面面积为 50 , 求该截面与棱锥底面之间的距离.

5. 设圆锥的母线长为 1,高为 ,过圆锥的任意给定的两条母线作一个截面. 求截面面积的最大值.

6. 将若干毫升水倒入底面半径为 的圆柱形器皿中,量得水面高度为 . 若将这些水倒入底面半径等于母线的倒圆锥形器皿中, 且恰好装满, 求圆锥形器皿的高.

7. 已知长方体 的三条棱长分别为 ,求表面有一只蜘蛛从 爬行到 的最短距离.

8. 如图,已知点 在圆柱 的底面圆 的圆周上, 为圆 的直径,圆柱的表面积为 .

(1)求三棱锥 的体积；

(2)求异面直线 与 所成角的大小.

(第 8 题)

9. 如图,在圆柱中,底面直径 等于母线 ,点 在底面的圆周上,且 是垂足.

(1)求证: ；

(2)若圆柱与三棱锥 的体积的比等于 ，求直线 与平面 所成角的大小.

(第 9 题)

10. 如图, 半球内有一内接正方体(即正方体的一个面在半球的底面圆上, 其余顶点在半球面上). 若正方体的棱长为 ,求半球的表面积和体积.

(第 10 题)

1. 已知圆锥的底面半径为 ,高为 ,正方体 内接于该圆锥. 求这个正方体的棱长.

2. 如图, 一个圆锥形的空杯子上放着一个半球形的冰激凌, 如果冰激凌融化了, 会溢出来吗?

(第 2 题)

3. 如图,用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且表面积为 的正四棱锥形有盖容器. 设容器的高为 ,盖子的边长为 .

(1)求 关于 的函数表达式；

(2)当 为何值时,容器的容积 最大? 并求出 的最大值.

(第 3 题)

4. 将一块边长为 的正方形铁片裁下如图所示的阴影部分，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个无盖的正四棱锥形容器罩.

(1)试把容器罩的表面积 表示为 的函数;

(2)试把容器罩的体积 表示为 的函数.

(第 4 题)