SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 13.5

学生阅读版 / 沪教版高中数学

统计估计.

必修第三册
第13章统计 · 保留教材主线与原题

1 个阅读模块5 个例题14 道练习与习题

13.5

统计估计

教材与正式教参整合

某医学期刊 2018 年刊出了关于我国成人高血压的调查结果: 我国成人中约 2.45 亿人可能患有高血压，还有约 4.35 亿人可能是高血压“后备军”(正常高值血压). 是谁统计了这几亿人的数据呢?

实际上并没有人一一统计这几亿人的数据，而是研究团队根据在全国范围内随机调查的约 45 万名成人的血压数据，推断出了我国成人患高血压情况. 为何该研究团队仅仅通过调查约 45 万名成人的血压数据，就可以推断出我国约 10 亿成人中患高血压的人数？这就是统计估计所起的强大作用:在实际问题中，当总体的信息难以或无法获得时，我们可以采取科学的抽样方法，获取具有代表性的样本，利用样本信息来估计总体的分布规律.

1 估计总体的分布

我们知道, 总体是指考察对象的全体, 个体是总体中的每一个考察的对象, 总体的分布指的是总体中不同范围或类型的个体所占的比例. 如果我们研究的总体是某校高一年级学生的身高和体重, 那么总体的分布是指该校高一年级学生中的不同身高和体重范围的学生个体在总体中所占的比例. 如果我们研究的总体是某校高一年级学生偏好的运动方式, 那么总体的分布是指该校高一年级学生中偏好每种运动方式的学生个体在总体中所占的比例.

在 13.4 节中, 我们学习了如何通过频率分布表和频率分布直方图来分析样本数据的分布. 如果样本数据是随机抽取的, 那么依据大数定律, 当样本量不断增大时, 样本中每组数据的频率会越来越稳定于一个相应的概率, 我们就可以把这个概率作为总体中的个体在相应区间内取值的概率, 从而用样本的频率分布来估计总体的分布情况.

例题 1

例 1 某营养学研究人员用随机抽样的方法获得了某高校 100 名女大学生平均每日摄取的热量(单位:千大卡，1 千大卡 = 1000 千卡), 其数据如下:

(1)试估计该校全体女大学生每日摄取热量的分布情况；

(2)健康的成年女性每天需要摄取 1.80 ~ 1.90 千大卡 (不含 1.90 千大卡)的热量，试估计该校有多少比例的女大学生摄取的热量在此范围之内.

练习 13.5(1)

练习13.5(1) · 1

某学生第二天要参加 100 m 短跑比赛,他记录了比赛前一日集训中 20 次短跑的成绩(单位:s):

13.4 13.6 14.3 15.3 12.8 13.1 14.5 13.8 14.2 15.0

13.4 13.7 13.5 12.5 12.9 14.9 12.9 14.6 14.3 15.5

(1)制作频率分布表;

(2)试估计该学生在短跑比赛中用时低于的可能性.

练习13.5(1) · 2

某展览馆随机抽取了 2018 年中 5 周的客流量 (单位:人次), 如下表所示. 试估计该展览馆 2018 年有多少天的客流量超过了 200.

	周一	周二	周三	周四	周五	周六	周日
第 1 周	170	148	85	132	180	395	342
第 2 周	140	138	193	108	163	360	441
第 3 周	127	179	215	184	116	454	405
第 4 周	174	252	240	155	293	493	386
第 5 周	241	132	156	203	189	357	430

2 估计总体的数字特征

当我们获得一组样本数据时, 通常很难一眼看出其中的规律, 而用图表则可以使得数据变得更为直观. 此外, 我们还可以利用样本数据进行适当的计算来得到一些新的数量, 并用这些新的数量来代表整个样本数据的某些特征.

本节中我们讨论了用样本的频率分布来估计总体的分布. 同样地, 我们还可用样本的数字特征来估计总体的数字特征.

2.1 通过样本估计总体的集中趋势

利用初中阶段学习过的平均数、中位数和众数, 我们可以描述有限样本的集中趋势. 例如,设样本数据为 , 由公式

就得到样本平均数,它描述了样本数据的平均水平. 如果个数据中不同的数据的频数分别为、 ,那么样本平均数为

当数据量大且重复率高时, 后一个公式可减少计算量.

我们引进一个记号表示多项连加的和 ,即

某公司实行薪资保密制度，员工只知道自己的工作所得，而不知道其他员工的薪资. 现要了解该公司员工的平均年薪、中等年薪以及赚取人数最多的那种年薪. 在公司员工的花名册中随机抽取 15 名员工，调查得到这 15 名员工的年薪(单位:万元) 如下:

该公司的人事部门招聘员工时，最有可能用哪种年薪来回答有关待遇方面的问题?

公司全体员工的平均年薪可用样本的平均数来估计，员工的中等年薪可用样本的中位数来估计，而赚取人数最多的那种年薪可用样本的众数来估计.

样本的平均值 (万元). 把所有年薪从低到高排序, 中间第 8 个数 8.2 即是样本中位数. 8.1 出现了 3 次，次数最多，即样本的众数为 8.1 .

于是, 我们估计该公司员工的平均年薪可能为 8.7 万元, 中等年薪可能为 8.2 万元，赚取 8.1 万元年薪的可能性最大. 当然，这样的估计是否合理, 还取决于样本的容量与代表性.

例题 2

例 2 为了解某体校学生跑步的情况, 观察随机抽取的 20 名学生一周内跑步的累计数 (单位: )，在各区间内的频数记录如表 13-6 所示.

表 13-6

周跑步累计数分组区间	频数
[5.5,10.5)	1
[10.5,15.5)	2
[15.5,20.5)	3
[20.5,25.5)	5
[25.5,30.5)	4
[30.5,35.5)	3
[35.5,40.5)	2

试估计一周内该校学生平均跑步累计数.

2.2 通过样本估计总体的离散程度

现在我们介绍如何用数量来描述数据的另外一种统计特征一一样本数据的离散程度.

在一次男子10 米气手枪射击比赛中, 甲运动员的成绩(单位: 环)为7.5、7.8、...、10.9；乙运动员的成绩为 8.4、8.5、...、 10.7 , 如图 13-5-3 所示.

原始记录没有提供每个数据的准确值, 只提供了它们所在的区间. 这时, 为了计算均值, 可用区间的中点值给区间内的每个数据赋值.

教材或教参原图

图 13-5-3 甲、乙两位运动员 20 次气手枪比赛成绩的茎叶图

射击队想从两位选手中选取一名外出参加比赛，经过计算可知, 两位选手 20 次射击的平均环数都是 9.6 , 但从图 13-5-3 中看, 甲的成绩比较分散, 乙的成绩则相对稳定在高环数段. 但看上去“比较分散”和“相对稳定”只是一种直观的描述，我们需要用一些具有统计意义的数量来刻画数据的波动情况.

设样本数据为 ,我们知道表示的是样本平均数. 在 13.4 节中我们已学习过极差, 它反映了样本数据变化的最大幅度, 是样本数据离散程度的一种刻画方式. 极差对极端数据很敏感, 也就是说它是不稳定的.

此外, 在初中阶段我们已学习过用样本数据的方差

来衡量一组数据的波动大小. 一组数据的方差越大, 表明这组数据波动越大.

我们把方差的算术平方根

方差和标准差都反映了一组数据围绕平均数波动的大小, 方差的单位是观测数据的单位的平方, 而标准差的单位与观测数据的单位一致, 因此我们常常用标准差来描述数据的离散程度.

在实验中, 为了消除系统性偏差, 标准差公式中往往以代替 ,用

来作为总体标准差的估计值.

我们可以得出上述例子中甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差:

由于 ,说明甲的成绩确实较乙的成绩更为离散,即乙的成绩较为稳定, 与从茎叶图上观察到的结论一致, 射击队应选拔乙参加比赛.

例题 3

例 3 在 13.4 节中, A 校抽取了 66 名高一年级学生, 测量他们的身高数据, 如表 13-2 所示. 现在假设由于某种原因这些原始样本数据不可查得, 但已知按照分层随机抽样原则抽取了样本，其中男生 34 名，身高样本平均数为 173.1 cm，方差为25.9 ; 女生 32 名，身高样本平均数为161.3 cm，方差为23.3. 试用这些已知的数据求该 66 名高一年级学生身高的样本平均数和方差, 并估计高一年级学生身高的总体方差. (结果精确到 0.01)

例题 4

例 4 某果园种植了 120 棵苹果树, 为调查苹果产量, 从中随机抽取了 10 棵苹果树, 测得其产量 (单位:kg) 分别为 24 、 25、28、32、20、26、33、26、27、30. 试预估该果园的苹果产量.

信息技术:计算样本数据的数字特征

当样本量很大时, 纸笔计算样本的数字特征非常麻烦, 而计算机或计算器可以帮助我们方便地得到数据的数字特征. 下面, 作为一个示例, 我们介绍利用电子表格办公软件计算平均数的操作步骤:

(1)在空白表格中输入要处理的数据，单击某空白单元格.

(2)单击公式菜单中的“插入函数”，选择统计类别中的 "AVERAGE"; 单元格中则会出现“=AVERAGE( )”; 也可以直接在单元格中输入 “=AVERAGE( )”.

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离. 由统计理论可知, 包含大多数样本数据.

(3)将光标放在括号内，然后选择这组数据，点击回车，平均数就计算出来了, 如图 13-5-4 所示.

教材或教参原图

图 13-5-4

类似地, 我们可以用电子表格办公软件或计算器计算一组数据的方差、标准差等其他数字特征.

练习 13.5(2)

练习13.5(2) · 1

下列说法中有哪些是错误的?

A. 一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多;

B. 极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量;

C. 平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量;

D. 总体的数据都分布在样本的极差范围内.

练习13.5(2) · 2

掷一颗骰子 10 次，记录出现偶数点的比例. 这样的试验共做了 100 次，所得数据如下表所示.

比例	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
频数	1	3	8	21	28	23	10	5	1	0

(1)绘制频率分布条形图；

(2)求偶数出现比例的平均值和标准差.

练习13.5(2) · 3

某果园种植了两个品种的苹果, 现从两个品种中各随机抽取 10 个, 测得它们的质量(单位: ) 分别为:

甲品种/g	203	185	190	192	185	192	179	193	195	186
乙品种/g	192	184	195	187	196	196	183	186	192	189

问:哪个品种的苹果质量更均匀？

3 估计百分位数

我们知道, 将一组数据从小到大排列后, 中位数将一组数据分成了两部分, 一半的数据小于等于它, 一半的数据大于等于它. 当样本容量很大时, 还可以将数据分为 100 个部分, 每一部分包含 1% 的数据. 第百分位数 (the th percentile, 为 1 到 100 之间的整数,记作 ) 即是将一组数据从小到大排列后,将数据分成两部分:小于或等于第百分位数的数据占，大于或等于第百分位数的数据占 .

例如，体重是我国 13-15 岁女生体重的第 50 百分位数, 表示我国 13-15 岁女生中至少有一半体重小于或等于 46.6 kg. 计算第百分位数时,首先将数据从小到大排列,然后计算指数 .

(1)若是整数，则第百分位数是第项与第项的数据的平均值;

(2)若不是整数，则将向上取整，得到的数即为第百分位数的位置.

例题 5

例 5 表 13-7 是 13-17 岁未成年人的身高的主要百分位数(单位:cm). 小明今年 16 岁，他的身高为 176 cm，他所在城市男性同龄人约有 6.4 万人. 试估计小明的身高至少高于他所在城市多少男性同龄人.

表 13-7 13-17 岁未成年人的身高的主要百分位数

		P1	P5	P10	P25	P50	P75	P90	P95	P99
13-15 岁	男	141	147	151	157	164	169	174	177	182
13-15 岁	女	143	147	150	153	157	161	165	167	171
16—17 岁	男	155	160	163	167	171	175	179	181	186
16—17 岁	女	147	150	152	155	159	163	166	169	172

数据来源:《中国未成年人人体尺寸》(标准号:GB/T 26158-2010).

练习 13.5(3)

某高校为了解新生的英语基础，在 3250 名大学一年级学生中进行英语水平测试. 下面是随机抽取的 46 名参加测试学生的成绩 (单位:分).

40	74	89	72	96	88	78	48	69	87
90	89	95	82	66	77	65	46	70	79
85	77	84	83	97	82	40	60	68	76
89	71	88	86	88	86	60	53	74	93
91	60	60	83	82	56

某学生在此次测试中的成绩为 85 分, 试估计该学生的成绩在该校大学一年级学生中处于第几百分位数.

习题 13.5

A 组

习题13.5A · 1

下面是甲、乙两名运动员在某次男子 10 米气手枪射击比赛中的得分数据(单位: 环), 试比较两名运动员的射击水平.

甲	9.6	9.9	9.2	9.4	9.9	10.1	10.2	9.7	9.6	9.3	10.0	10.4	10.1	9.9
乙	10.2	10.7	9.7	10.0	9.1	10.0	8.6	9.8	9.6	9.7	10.9	9.5	10.3	9.2

习题13.5A · 2

某公司随机调查了 20 名员工上班单程花费的时间 (单位:min)，所得数据如下表所示.

员工编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
时长/min	10	12	15	18	20	21	25	25	25	25
员工编号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
时长/min	26	28	30	35	36	36	40	43	48	52

分别计算该公司这 20 名员工花费的上班单程时间的平均数、众数和中位数, 并据此估计该公司全体员工上班花费的时间情况.

习题13.5A · 3

某研究机构随机抽取了某市 40 个小区,得到每个小区居民平均每天运动以上的比例 (%) 如下:

18.7	16.2	24.9	24.2	22.8	18.5	23.0	26.1	18.1	23.2
21.7	23.5	26.3	17.8	22.1	16.3	21.5	21.9	21.5	26.8
21.2	22.6	24.0	22.1	20.6	24.5	21.8	26.8	29.4	24.1
20.1	22.8	24.3	25.7	19.9	25.8	26.3	18.8	26.4	21.5

(1)适当地分组，制作频率分布表;

(2)绘制频率分布直方图和频率分布折线图，并估计该市有多少比例的小区其居民每天运动的比例超过 .

习题13.5A · 4

某餐厅为准确了解就餐用户的特点, 随机抽查了 30 名就餐用户, 调查他们的居住地到餐厅的距离 (单位: )，结果如下表所示. 试求这些就餐用户的居住地到餐厅距离的样本平均数与标准差, 并估计该餐厅有多少比例的就餐用户的居住地与该餐厅之间的距离小于 .

1	1	1	1	1	3	4	4	6	6
7	8	9	9	9	10	10	11	11	12
12	12	15	15	18	18	19	21	25	25

习题13.5A · 5

某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况, 按男、女学生的比例分别抽样调查了 48 名男生和 27 名女生的每周锻炼时间. 通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为 7.6 小时, 方差为 7.3; 女生每周锻炼时间的平均数为 6.4 小时, 方差为 8 . 求所有样本数据的平均数和方差, 并据此估计该校学生每周锻炼时间的平均数和方差.

B 组

习题13.5B · 1

某学生每天坚持阅读课外书籍，他连续记录了两周中每天阅读的页数，如下表所示.

第天	1	2	3	4	5	6	7
页数	5	4.5	6	4	6	8	10
第天	8	9	10	11	12	13	14
页数	4.5	6.5	5	5.5	7	9	9.5

假设平均一本书有 200 页, 该学生一年可以看完多少本书?

习题13.5B · 2

测得某地区近 20 年来年降水量(单位:mm)情况如下表所示.

年降水量分组区间	频数	组中值
[50.5,100.5)	1
[100.5,150.5)	2
[150.5,200.5)	3
[200.5,250.5)	5
[250.5,300.5)	4
[300.5,350.5)	3
[350.5,400.5]	2

(1)补全表格中的数据；

(2)估计该地区的年平均降水量.

习题13.5B · 3

某高校两个班级在一门选修课程的某次考试中的成绩(总分:100 分)如下:

甲班

84	75	78	95	67	49	86	77	66	88
73	78	53	45	74	91	84	99	53	84
67	57	68	55	90	73	72	67	57

乙班

74	58	92	100	74	37	83	97	66	84
61	75	94	70	73	84	81	48	82	66
83	100	90	66	93	44

分别计算两个班级成绩的平均数、中位数和众数, 并说明在这次考试中哪个班的成绩更好.

教材或教参原图

习题13.5B · 4

工作椅的座高是影响坐姿舒适程度的主要因素之一, 符合人体工程学的合理座高应约等于坐姿人体的“小腿加足高”. 此外, 按照国家标准, 工作椅的座高应选取人体尺寸的第 5 百分位数和第 95 百分位数作为尺寸上、下限值的依据.

下面是通过抽样调查 200 位女性(18 〜55 岁)和 200 位男性(18~60 岁)所得到坐姿的小腿加足高的数据(单位:mm).

女性:

393	396	345	380	404	402	389		382		376		381
393	392	346	420	354	374	385		340		389		387
374	347	331	401	382	377	372		362		403		403
400	363	387	390	383	404	378		386		417		379
404	399	388	413	408	390	383		387		365		381
351	396	384	400	391	364	355		395		385		376
387	392	382	390	391	386	397		358		395		392
384	409	360	353	335	386	392		390		379		398
384	382	392	397	417	391	418		356		409		380
381	405	388	376	398	334	377		383		372		401
347	372	380	411	369	362	377		374		373		383
382	383	384	370	377	367	372		389		396		373
359	382	375	350	381	394	332		396		368		382
375	399	367	340	382	381	342		383		361		391
385	400	343	378	388	359	364		386		391		394
391	354	406	385	394	357	332		348		353		381
356	381	330	379	368	376	375		372		368		371
383	390	394	405	380	376	343		365		384		386
381	379	356	379	369	383	391		382		378		385
385	350	349	364	382	380	352		393		341		397
男性:
428	410	413	399	421	427	431		411		432		412
407	443	435	390	423	420	425		395		410		418
387	383	432	437	402	418	449		415		383		457
413	409	407	394	374	392		421	409	397		429
405	388	437	463	391	447		415	393	427		421
398	417	429	430	389	408		441	394	391		429
411	415	452	411	416	416		406	405	450		384
419	399	432	392	377	438		412	427	415		400
420	395	431	424	459	405		443	409	403		404
416	425	415	417	417	430		396	414	447		373
416	413	411	414	389	463		466	413	410		454
432	406	385	429	411	408		422	414	406		387
380	414	385	433	378	415		415	414	426		404
400	413	388	396	435	435		419	440	416		405
396	415	429	449	396	372		403	439	423		398
434	407	444	447	412	400		396	406	439		405
397	381	395	420	412	395		401	398	426		390
424	407	383	407	438	416		412	386	422		468
371	434	410	413	424	454		411	408	414		389
432	404	414	425	411	435		413	429	409		413

请根据以上数据, 给出工作椅座高的合理范围.

40	74	89	72	96	88	78	48	69	87
90	89	95	82	66	77	65	46	70	79
85	77	84	83	97	82	40	60	68	76
89	71	88	86	88	86	60	53	74	93
91	60	60	83	82	56

40	74	89	72	96	88	78	48	69	87
90	89	95	82	66	77	65	46	70	79
85	77	84	83	97	82	40	60	68	76
89	71	88	86	88	86	60	53	74	93
91	60	60	83	82	56

40	74	89	72	96	88	78	48	69	87
90	89	95	82	66	77	65	46	70	79
85	77	84	83	97	82	40	60	68	76
89	71	88	86	88	86	60	53	74	93
91	60	60	83	82	56