锥体.

例 1 证明: 在正三棱锥中, 任意两条异面的棱都相互垂直.

棱锥常用表示其顶点的字母与表示其底面多边形的记号之间加短横来记，例如, 图 11-2-2 中, 左边的三棱锥可记为 ，右边的六棱锥可记为 .

图 11-2-3

例 2 如图 11-2-5,用平行于圆锥 底面的平面截这个圆锥,得到一个小圆锥 . 如果这两个圆锥的高分别是 ,求这两个圆锥的底面面积之比.

1. 用平行于棱锥底面的平面截这个棱锥, 得到一个小棱锥. 已知这两个棱锥的高分别是 ,求这两个棱锥的底面面积之比.

2.(1)过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截，得到的截面是什么图形？在什么条件下, 所得到的截面面积最大?

(2)如果圆锥的母线与底面所成的角为 ,那么经过圆锥两条母线的平面与圆锥底面所成的二面角有可能小于 吗?

3. 显然, 通过延长圆台的任意一条母线都可以使它们交于一点, 从而得到一个圆锥. 如图, 这样的几何体是否也可以通过延长棱的方法得到一个棱锥?

(第 3 题)

例 3 如图 11-2-6,设 分别是给定正方体 的棱 和 上的任意点. 求证: 三棱锥 的体积是定值.

例 4 如图 11-2-7,设正方体 的棱长为 . 求顶点 到面 的距离.

例 5 如图 11-2-8,设台体上、下底面积分别为 和 , 上下底面的距离为 . 求证: .

1. 已知四棱锥 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 垂直于底面，且 . 求该四棱锥的体积.

2. 已知直三棱柱 的侧棱长为 9，底面相邻边的长分别是 7 和 5，夹角为 . 求三棱锥 的体积.

3. 已知圆台上、下底面的半径分别为 ,高为 . 求证: .

例 6 已知正三棱锥 的底面边长为 ，高为 . 求该三棱锥的表面积.

图 11-2-14

例 7 有一个圆锥形漏斗,其底面直径是 ,母线长为 . 在漏斗口的点 处用一根绳子将漏斗挂在墙面上,当绳子的长度最短时, 可以紧紧地箍住漏斗, 不会上下滑动. 求此时绳子的长度. (结果精确到 )

1. 已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为 ，底面周长为 . 求这个圆锥的侧面积和表面积.

2. 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为___.

3. 推导正棱台的侧面积公式.

1. 已知一个正三棱锥的底面边长为 6 , 侧棱长为 . 求这个三棱锥的体积.

2. 如图,已知三棱锥 中, 垂直于平面 3, .

(1)求点 到平面 的距离；

(2)求三棱锥 的表面积.

(第 2 题)

3. 把边长为 1 的正方形 沿对角线 折起,使 (折叠后的) 四点为顶点的三棱锥体积最大. 求此三棱锥的表面积.

(第 3 题)

4. 棱锥被平行于底面的平面所截, 当截面分别平分棱锥的高与体积时, 相应的截面面积分别为 . 求证: .

5. 若圆锥的底面半径为 1,高为 ,求圆锥的表面积.

6. 把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比为 ,母线 (原圆锥母线在圆台中的部分) 长为 . 求原圆锥的母线长.

7. 已知圆锥的底面半径为 3,沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为 的扇形. 求该圆锥的高.

8. 用一个平面去截正方体, 得到一个三棱锥, 截得的三棱锥中, 除了截面外另三个面的面积分别为 . 求这个三棱锥的体积.

1. 在三棱锥 中,已知 . 求该三棱锥底面 上的高与三棱锥的体积.

2. 用过圆柱和圆锥的轴的平面截这两个几何体, 分别得到边长为 2 的正方形和正三角形, 求圆柱和圆锥的表面积之比.

3. 已知圆锥底面的半径为 10，母线长为 60 . 求底面圆周上一点 沿侧面绕两周回到点 的最短距离.

4. 设圆台的母线长为 ,上、下底面的半径分别为 . 试用 和 表示圆台的侧面积.