例题 1
例 1 已知斜三棱柱 的底面是正三角形,侧棱 ,并且与底面所成角是 . 设侧棱长为 .
(1)求此三棱柱的高；
(2)求证:侧面 是矩形；
(3)求证: 在平面 上的射影 在 的平分线上.
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 11.1
学生阅读版 / 沪教版高中数学
柱体.
必修第三册
第11章简单几何体 · 保留教材主线与原题
柱体
教材与正式教参整合
简单几何体
必修课程第 10 章讨论了空间中点、线及面的位置关系和一些性质. 在此基础上, 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量.
对简单几何体的研究有许多实际的应用. 从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼, 各式建筑虽然千姿百态, 但它们往往都是由简单几何体组合而成的. 因此, 简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容, 《九章算术》中的“堑堵”“阳马”“鳖臑”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体.
日常生活中，长方体粉笔盒、六角螺帽、易拉罐、电池等都是我们常见的柱体模型.
1 棱柱与圆柱
图 11-1-1
通常又可按照棱柱底面的多边形的边数把棱柱分为三棱柱、 四棱柱、五棱柱等. 例如, 图 11-1-1 中, (1)是三棱柱, 又因为它的侧棱不垂直于底面，所以是斜三棱柱；(2)是四棱柱，又因为侧棱垂直于底面, 所以是直四棱柱; (3)的底面是正六边形, 侧棱又垂直于底面, 所以是正六棱柱.
棱柱常用表示两底面多边形的记号(顶点相应排列)再用短横连接来记. 例如, 图 11-1-1 中, 三棱柱 (1) 可记为棱柱 ,六棱柱 (3) 可记为棱柱 .
例题 2
例 2 证明: (1) 过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的截面都是全等的矩形;
(2)任一平行于圆柱底面的平面与圆柱形成的截面都是与底面全等的圆.
图 11-1-4
练习 11.1(1)
练习11.1(1) · 1
- 证明: 棱柱的所有侧面都是平行四边形.
练习11.1(1) · 2
- 证明: 平行于棱柱底面的平面截这个棱柱所得到的截面是一个与底面全等的多边形.
练习11.1(1) · 3
- 一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是什么图形？如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上, 那么水面的形状又会是什么图形? 请分别画出以上两种情形的示意图.
2 柱体的体积
我们已经知道长方体的体积等于长、宽、高的乘积. 对于一般的柱体, 是否也可以给出相应的体积公式呢?
早在公元 5 世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理: “幂势既同，则积不容异. ”这里，“幂”是截面积, “势”是几何体的高. 意思是两个同高的几何体, 若在任意给定的等高处的截面积相等, 则体积相等. 如图 11-1-5, 这个原理可以用现代的数学语言表示如下:
祖暅原理 夹在两个平行平面间的两个几何体, 如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积, 那么这两个几何体的体积必相等.
图 11-1-5
我们可以把图 11-1-5 看成装满水的两个不同容器. 若在任意给定的等高处液面面积相等, 则容器中的水一样多. 我们还可以用下面的方法直观地解释祖暅原理:如图 11-1-6，取一堆书放在桌面上, 将这堆书如图那样改变一下形状, 这时书堆的高度没有改变, 每页的面积也没有改变, 这堆书的体积与变形前相等.
图 11-1-6
有了祖暅原理，下面就可以方便地推导一般柱体的体积. 设某个棱柱的底面积是 ,高是 . 为了计算它的体积,我们先构造一个底面积为 ,高为 的长方体,然后把棱柱和长方体同时置于两个平行平面之间, 如图11-1-7所示.
图 11-1-7
其中, 为棱柱的底面积, 为棱柱的高.
其中, 为圆柱的底面积, 为圆柱的高, 为圆柱的底面半径.
例题 3
例 3 已知三棱柱的底面三角形 的三边长分别是 ,侧棱 ,且侧棱 与底面所成的角为 . 求这个三棱柱的体积.
图 11-1-8
练习 11.1(2)
练习11.1(2) · 1
- 在修建铁路时, 路基需要用碎石铺垫. 已知路基的形状及尺寸如图所示 (单位: m),每修建 铁路需要碎石多少 ?
(第 1 题)
练习11.1(2) · 2
- 一个圆柱形油桶的底面半径为 ,高为 . 求这个油桶的体积.
练习11.1(2) · 3
- 如图, 查一查六角螺帽的尺寸规格, 并说明如何计算它的体积.
(第 3 题)
3 柱体的表面积
为了计算方便, 下面我们只讨论直棱柱和圆柱的表面积.
对于直棱柱, 由定义得每个侧面都是矩形, 且每个矩形的一边都等于棱柱的高, 另一边是底面多边形的一条边. 所以, 直棱柱的侧面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长.
我们也可以用平面展开图的方法来求直棱柱的表面积. 如图 11-1-9, 将左边的直六棱柱沿其某条棱剪开, 并展开在一个平面上，可以得到右边的平面图形.
图 11-1-9
其中 为直棱柱的底面积.
其中, 为圆柱的底面积, 是圆柱底面的半径.
图 11-1-10
例题 4
例 4 一张 A4 纸的规格为: ，把它作为一个圆柱的侧面. 求卷成的圆柱体体积. (结果精确到 )
练习 11.1(3)
练习11.1(3) · 1
- 如图(图中单位:cm)是一种机器零件，零件下部是实心的直六棱柱(底面是正六边形，侧面是全等的矩形)，上部是实心的圆柱. 求此零件的体积与表面积. (结果分别精确到 与 )
(第 1 题)
练习11.1(3) · 2
- 要给一批共 10000 根相同规格的空心钢管镀锌，钢管的长度为 ,内外直径分别为 与 . 若电镀这批钢管每平方米要用锌 ,求需要用锌的总量. (结果精确到 )
练习11.1(3) · 3
- 证明: 表面积相等的长方体中, 正方体的体积最大.
习题 11.1
A 组
习题11.1A · 1
- 若圆柱的底面半径是 1 , 母线长为 2 , 则这个圆柱的体积是___.
习题11.1A · 2
- 若一个圆柱的侧面积是 ,高为 1,则这个圆柱的体积是___.
习题11.1A · 3
- 若正六棱柱的高为 4，底面边长为 2，则这个正六棱柱的体积是___.
习题11.1A · 4
- 将一个棱长为 的正方体切成 27 个全等的小正方体，其表面积增加了___.
习题11.1A · 5
- 已知侧面都是矩形的四棱柱, 侧棱长为 5, 底面是边长为 2 的菱形, 则这个棱柱的侧面积是___.
习题11.1A · 6
- 在正四棱柱 中,若 ,则异面直线 与 所成角的大小为___.
习题11.1A · 7
- 在正方体 中,若 是 的中点,则直线 与平面 所成角的大小为___.
习题11.1A · 8
- 已知三棱柱 的三个侧面均是矩形,求证: 它的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积.
B 组
习题11.1B · 1
- 已知长方体 的对角线 的长是 ,且直线 与长方体经过点 的三个面所成角分别是 . 求此长方体的体积.
习题11.1B · 2
- 如图, 设圆柱有一个内接棱柱(即棱柱的侧棱都是圆柱的母线, 棱柱的两个底面分别在圆柱的两个底面内). 已知圆柱的体积是 ,棱柱的底面是边长为 2 的正三角形. 求棱柱的体积.
(第 2 题)
习题11.1B · 3
- 如图,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱 . 当侧面 水平放置时,液面恰好过 的中点. 当底面 水平放置时,液面高为多少?
(第 3 题)