例题 1
例 1 在长方体 中,证明直线 平行于平面 .
图 10-3-2
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 10.3
学生阅读版 / 沪教版高中数学
直线与平面的位置关系.
必修第三册
第10章空间直线与平面 · 保留教材主线与原题
直线与平面的位置关系
教材与正式教参整合
一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:
-
直线在平面上一一有无数个公共点;
-
直线和平面相交一一只有一个公共点;
-
直线和平面平行一一没有公共点.
1 直线与平面平行
上面我们已按照直线与平面的公共点的个数来划分了空间直线与平面的位置关系, 其中, 当直线与平面没有公共点时, 我们说直线与平面平行, 并沿用平面几何中的平行符号来表示, 如 . 但是,因为直线与平面都是无限延伸的,要直接判断直线与平面是否有公共点往往是比较困难的, 所以我们需要一个简便的直线与平面平行的判定定理.
观察房门的转动情景可以看到，房门开启后，无论门转到什么位置, 房门外沿所在的直线始终都是和门框所在的平面平行的. 这是因为房门的外沿与内沿是平行的, 而在房门的转动过程中, 内沿始终都在门框所在的平面上. 由此可以引出下面的直线与平面平行的判定定理:
直线与平面平行的判定定理 如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行, 那么该直线与这个平面平行.
下面, 用反证法来证明这个定理.
已知: 如图 10-3-1,直线 不在平面 上,直线 在平面 上,且 .
图 10-3-1
求证: 直线 平面 .
证明 假设直线 不平行于平面 ,则直线 与平面 有公共点,设为点 . 在平面 上,过点 作已知直线 的平行线 . 因为 不在 上,所以 与 不重合. 另一方面,因为 ,所以 ,这和 与 交于点 矛盾. 所以原假设不成立,从而 .
依据上述判定定理, 要判定不在平面上的一条直线与这个平面平行, 只要在此平面上找到此直线的一条平行线即可.
例题 2
例 2 证明: 空间四边形相邻两边中点的连线, 必平行于经过另外两边的平面.
已知: 如图 10-3-3,在空间四边形 中,设 分别是两边 的中点.
求证: 平面 .
图 10-3-3
练习 10.3(1)
练习10.3(1) · 1
- 如图,在长方体 的 6 个面中,
(1)与 平行的平面是___；
(2)与 平行的平面是___.
(第 1 题)
练习10.3(1) · 2
- 判断下列命题的真假, 并说明理由:
(1)若直线 上有无数个点不在平面 上，则 ；
(2)若直线 与平面 上的一条直线平行,则 与平面 上的任意一条直线都平行;
(3)若两条平行直线中的一条平行于一个平面, 则另一条直线也平行于这个平面;
(4)设直线 在平面 上，直线 不在平面 上，并且 ，则 .
练习10.3(1) · 3
- 若直线 不平行于平面 ,且 不在平面 上,判断下列结论是否成立,并说明理由:
(1)平面 上的所有直线都与 异面;
(2)平面 上不存在与 平行的直线；
(3)平面 上存在唯一的一条直线与 平行;
(4)平面 上的直线都与 相交.
如果一条直线和一个平面平行, 那么这个平面上是否一定可以找到与这条直线平行的直线呢? 有下面的定理.
直线与平面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行, 过这条直线的一个平面与此平面相交, 那么其交线必与该直线平行.
图 10-3-4
如图 10-3-4,已知直线 与平面 平行,过直线 的一个平面 与平面 相交于直线 .
求证: .
证明 由 ,故 和 没有公共点.
又因为 ,所以 和 没有公共点.
因为 和 同在平面 上,且没有公共点,所以 .
图 10-3-5
例题 3
例 3 在如图 10-3-5 所示的一块木料中,棱 平行于平面 .
(1)要经过平面 内的一点 和棱 将木料锯开, 应怎样画线?
(2)所画的线与平面 是什么位置关系？
练习 10.3(2)
练习10.3(2) · 1
- 判断下列命题的真假, 并说明理由:
(1)若两直线 互相平行,则 平行于经过 的任何平面；
(2)若直线 与平面 平行，则 平行于 内的任何直线；
(3)若两直线 都与平面 平行，则 ；
(4)若直线 平行于平面 ，直线 在平面 上，则 或者 与 为异面直线.
练习10.3(2) · 2
- 证明:若不在给定平面上的两条平行直线中的一条平行于给定平面, 则另一条直线也平行于给定平面.
练习10.3(2) · 3
- 设直线 平面 ,求证: 过 任意作与 相交的平面,所有这些平面与 的交线都是平行的.
2 直线与平面垂直
如图 10-3-7,将书打开直立在桌面上,观察书的书脊 和各页与桌面的交线的位置关系,可以发现: 书脊 所在的直线,和每一页与桌面的交线都是垂直的. 这时,我们说书脊 所在的直线垂直于桌面所在的平面.
图 10-3-7
日常生活中, 旗杆与地面、桥柱与水面等, 都给我们以一条直线和一个平面垂直的形象.
定义 如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直, 就说这条直线与这个平面互相垂直.
图 10-3-8
显然, 用上述定义来直接判断线面垂直关系是很困难的, 能否像线面平行的情形一样找到一个简便的判定定理呢?
先做一个实验: 请同学们准备一块三角形纸片 ,过 的顶点 翻折纸片,得到折痕 . 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上,并使得边 均在桌面上.
(1)折痕 与桌面垂直吗?
(2)如何翻折才能使折痕 与桌面所在平面 垂直？
通过实验会发现,当且仅当折痕 是边 上的高时, 所在直线与桌面所在平面才垂直(图 10-3-9).
图 10-3-10
图 10-3-9
生活中, 我们可以发现许多竖杆的底座是十字形的(图 10-3-10)，只要竖杆与底座的两条边垂直，就可以保证竖杆垂直于地面。
由上面的实验和实际经验, 我们可以发现下面的事实.
直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直, 那么此直线与该平面垂直.
有兴趣的同学可以自己试一试证明此判定定理.
有了这个判定定理, 我们就可以解释上面的实验与实际经验. 例如,在图 10-3-9 中,由折痕 ,而翻折保持这种垂直关系不变,从而 . 因此,由上述判定定理就知道,折痕 与桌面所在的平面 垂直.
例题 4
例 4 证明: 如果两条平行直线 中的一条 垂直于一个平面 ,那么另一条 也垂直于这个平面 .
图 10-3-11
例题 5
例 5 如图 10-3-14,在正方体 中,
(1)判断直线 与平面 ,以及直线 与平面 是否垂直,并证明你的结论;
(2)设正方体的棱长为 1，分别求点 及直线 到平面 的距离.
练习 10.3(3)
练习10.3(3) · 1
- 加工六角螺母, 只要螺母的六个侧面都是矩形, 那么六条侧棱一定都垂直于螺母的上下两面. 请说明理由.
(第 1 题)
练习10.3(3) · 2
- 设 和 都是平面 的垂线,其垂足分别为 . 已知 , ， . 求线段 的长.
练习10.3(3) · 3
- 如图,已知 垂直于平面 垂直于平面 为相应的垂足,且 为平面 与平面 的交线. 求证: 平面 .
(第 3 题)
3 直线与平面所成的角
图 10-3-15
在直线与平面垂直的情况下，其投影就是相应的垂足.
另外, 我们约定, 如果一条直线垂直于平面, 我们说它们所成的角是直角; 如果一条直线和平面平行或在该平面上, 就说二者所成的角是 的角.
例题 6
例 6 证明: 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,
(1)垂线段比任何给定的一条斜线段都短;
(2)两条斜线段相等的充要条件是它们相应的两条投影相等.
图 10-3-16
例题 7
例 7 如图 10-3-17,设 是平面 的一条斜线,与平面 交于点 是 在平面 上的投影, 是平面 上过点 的另一条直线, 与 所成的角为 与 所成的角为 . 求证: .
图 10-3-17
练习 10.3(4)
练习10.3(4) · 1
- 已知斜线段的长度是斜线段在平面内的投影的长的两倍, 求这条斜线和这个平面所成的角的大小.
练习10.3(4) · 2
- 在正方体 中, 是边 的中点.
(1)求 和底面 所成角的大小；
(2)求 和底面 所成角的大小.
练习10.3(4) · 3
- 在图 10-3-17 中,平面 上的斜线 与平面 所成的角为 是 在平面 上的投影, 是 与平面 的交点,点 是 上一点 在 上的投影, 是 上的任意一条直线. 如果 ,求 ,并验证 .
4 三垂线定理
关于平面的斜线及其在平面上的投影, 我们有下面的定理.
在讨论空间直线的垂直关系时，三垂线定理是一个常用的工具.
图 10-3-18
已知: 如图 10-3-18, 是平面 外一点, 是平面 的斜线,交 于点 . 过点 作平面 的垂线 ,垂足是 ,直线 是 在平面 上的投影.
证明 先证充分性,即证明从 可以推出 .
因为 平面 ,而 ,所以 . 这样,连同假设条件,直线 垂直于两条相交直线 与 ,从而它垂直于这两条相交直线所确定的平面 . 而直线 平面 ,于是 .
再证必要性,即反过来从 可以推出 .
同上,我们有 ,这个条件连同假设条件 ,推出直线 垂直于两条相交直线 与 所确定的平面 . 而直线 平面 ,于是 .
例题 8
例 8 如图 10-3-19,已知正方体 .
求证: .
图 10-3-19
在此正方体中, 还有哪些面的对角线与 垂直? 为什么? 由此能得到 垂直于哪些截面?
例题 9
例 9 如图 10-3-20,小河的一侧有一条笔直的道路 , 对岸有电塔 ,已知其高为 . 现只有小平板仪 (可用于测量水平的角度) 和皮尺作为测量工具, 请说明还需测量的数据, 然后运用三垂线定理给出求电塔顶 与道路 的距离 的公式.
图 10-3-20
练习 10.3(5)
练习10.3(5) · 1
- 过 所在平面 外的一点 ,作 ,垂足为 ,连接 及 .
(1)若 ，则点 是 的___，心；
(2)若 ， ，则点 是边 的___，点；
(3)若 ，则点 是 的___，心.
练习10.3(5) · 2
- 已知 是 的垂心,过点 作平面 的垂线, 是垂线上的一点. 求证: .
练习10.3(5) · 3
- 如图,已知 是矩形, 平面 .
(1)求证: ；
(2)若 ，求证:四边形 是正方形.
(第 3 题)
习题 10.3
A 组
习题10.3A · 1
- 如图,在长方体 中, 是棱 的中点,试判断 与平面 的位置关系,并说明理由.
(第 1 题)
习题10.3A · 2
- 在长方体 中, 分别为矩形 和 的中心. 求证: 平面 .
习题10.3A · 3
- 如图， ， ， ， . 求证: .
(第 3 题)
习题10.3A · 4
- 已知 分别是空间四边形 的边 的中点,过直线 且平行于 的平面与 交于点 . 求证: 是 的中点.
习题10.3A · 5
- 证明: 如果直线 平面 ,那么 上任意两点到平面 的距离都相等.
习题10.3A · 6
- 已知平面 与平面 相交于直线 ,直线 垂直于平面 ,直线 垂直于平面 ,其垂足分别为 . 求证: .
习题10.3A · 7
- 由平面 外一点 向 分别引斜线段 ，已知这两条斜线段和平面 所成角的大小之比为 ,而它们的长度之比为 . 分别求斜线段 和平面 所成角的大小.
习题10.3A · 8
- 从平面外一点 向该平面引垂线段 及斜线段 ，已知 的长为 ， . 求 的长.
习题10.3A · 9
- 证明: 两条平行直线和同一个平面所成的角相等.
习题10.3A · 10
- 在正方体 中,求证: 平面 .
B 组
习题10.3B · 1
- 如图,在四面体 中, 分别是 的重心. 该四面体中,哪些面与 平行? 请说明理由.
(第 1 题)
习题10.3B · 2
- 如图,已知 是 的直径,点 是 上的动点. 设过动点 的直线 垂直于 所在的平面,且 分别是边 的中点. 求证: 平面 .
(第 2 题)
习题10.3B · 3
- 如图,在棱长为 1 的正方体 中, 及 分别为棱 、 和 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)试在棱 上取一点 ，使 平面 .
(第 3 题)
习题10.3B · 4
- 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线. 如果此斜线和这个角两边的夹角相等, 求证: 该斜线在平面上的投影是这个角的角平分线所在的直线.
习题10.3B · 5
- 如图，在 中， ，且 垂直于 所在的平面 分别是边 的中点.
求证: .
(第 5 题)