章末阅读、内容提要与复习题.

现代教科书在引进复数时往往从引入负数的平方根开始, 但历史上复数的思想却是从寻找实系数一元三次方程求根公式中萌芽的.

对一般的实系数一元三次方程 ,由于总可以通过代换 消去其二次项,因此如何求解形如 的三次方程就成为关注的重点.

三次方程 可以变形为 ,即把 写成了两数之和. 受此启发,设想所求的未知数 也可以写成两数之和: ,再把等式 的右边展开,就得到 ,即 . 将上式与 相对照,不妨令

把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方,并把 与 看成未知数,由上述方程组可解出

于是,似乎可以顺理成章地把方程 的一个根写成

三次方程求根公式的研究推进至此, 看似大功告成. 但是, 将此公式用于另一位意大利数学家邦贝利(R. Bombelli)曾关注过的方程 ，得到该方程的一个根是 ,在认为负数不能进行开平方运算的 16 世纪,这是一个不知作何解释的结果. 另外,由 就可以看到方程 有一个根是 ,进而可求得该方程另外两个实根为 . 如何把这两个结果统一起来,让当时的数学家们不知所措了.

其实,只要用现代的复数理论是可以把 与 统一起来的. 事实上,若把 解释为 -121 的一个平方根 (比方说 11i),则

可以直接验证 是 的三次方根,于是卡尔丹公式确实给出了方程 的一个根 .

这里 是 1 的一个三次方根 (参看本章 9.4 节例 6). 例如,对方程 ,我们前面找到的 ,恰满足 ,于是,经过简单的计算就得到方程的三个实根:

为了从卡尔丹的研究走到得以公认的三次方程求根公式, 有许多数学家曾作出了巨大的努力，关键就是从卡尔丹工作中所隐含的复数思想的萌芽逐步发展成完善的复数理论， 使得解方程过程中每一步都落在坚实的数学基础上.

因此, 通常认为, 求解三次方程的研究是现代复数理论的起点.

复数是我们继自然数、整数、有理数和实数的学习之后，新认识的一种数.

1. 复数系与相关概念

(1)虚数单位i，满足 .

(2)复数的代数形式: .

(3)复数的相等: 的充要条件是 同时为 0；复数 的充要条件是 且 .

(4)复数的实部与虚部:复数 的实部是 ，虚部是 ；虚部为 0 的复数是实数，虚部不为 0 的复数称为虚数，实部为 0 的虚数称为纯虚数.

(5) 复数的模:复数 的模是 .

(6)复数的共轭:复数 的共轭复数是 .

2. 复数的四则运算

(1)两个复数进行相加、相减或相乘时，仿照两个二项式进行相加、相减或相乘的规则计算，并用条件 及合并同类项以化简结果.

(2)两个复数进行除法(除数不为 0)运算时，将分子和分母同时乘分母的共轭复数， 然后分子和分母分别做复数的乘法而得到运算结果.

(3)复数模对乘、除的分配性:复数积(商)的模等于模的积(商).

3. 复数的坐标表示

(1)复平面:表示复数的直角坐标平面叫做复平面，其中 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.

(2)复数的坐标表示与向量表示:复数 ( 、 )可用复平面上坐标为 的点 来表示，也可以用从坐标原点 出发的向量 来表示.

(3)复数模的几何意义:复数 的模 等于点 与原点的距离，也等于向量 的模 .

(4)两个复数的和在复平面上所对应的向量就是两个复数对应的向量按平行四边形法则所得到的和向量.

(5)两复数差的模的几何意义:两复数差的模是这两个复数在复平面上对应点之间的距离.

4. 实系数一元二次方程

给定方程 ,并令 为其判别式,则

(1)当 时，方程有两个不相等的实根 ；

(2)当 时，方程有两个相等的实根(二重根) ；

(3)当 时，方程有一对共轭虚根 .

*5. 复数的三角形式

(1)复数的辐角:设复数 对应复平面上的点 ，则以原点为顶点、 轴的正半轴为始边、射线 为终边的角 称为 的辐角，记作 ；满足 的辐角称为 的辐角主值，记为 .

(2)复数的三角形式:设复数 的模为 ，辐角为 ，则 ，复数的这种表示形式称为它的三角形式.

(3)三角形式下复数的乘法与除法公式:给定三角形式的复数 与 ,则

(4)三角形式下复数的乘方与开方公式:给定三角形式的复数 ，则对任何正整数 ,有

的 次方根为 .