例题 1
例 1 在复数范围求 25 与 -25 的平方根.
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 9.3
学生阅读版 / 沪教版高中数学
实系数一元二次方程.
必修第二册
第9章复数 · 保留教材主线与原题
实系数一元二次方程
教材与正式教参整合
在初中课程中已学过了实系数一元二次方程, 它具有标准形式
我们已经知道可用判别式 来判定这个方程实根的存在性. 具体地说, 在实数范围内考虑:
(1)当 时，该方程有两个不相等的实根 ；
(2)当 时，该方程有两个相等的实根(二重根) ；
(3)当 时，该方程没有实根.
我们现在再来讨论实系数一元二次方程的求根问题，但将根的取值范围从实数拓广到复数. 也就是说, 我们不仅要讨论实根, 还要讨论虚根. 我们要解决的问题实际上有两个:
(A) 当 时,除了已经找到的实根外,方程在复数范围还有其他的根吗?
(B) 当 时,方程在复数范围有根吗? 怎样求出它的根?
回答这两个问题,关键是对 (它是一个实数) 在复数范围的平方根问题有个准确的把握.
1 实数的平方根
设 ,并设 是它的一个平方根,即 . 将上式左边展开,得到 ,再根据复数相等的条件, 就得到
从第二个等式可知, 与 中至少有一个为零.
当 时,必须 ,否则 ,从而推出 , 与假设矛盾. 于是, 必是 的一个实平方根. 这说明, 除了已知的实平方根 ,非负实数 在复数范围没有其他的平方根.
而当 时,必须 ,否则 ,从而推出 , 与假设矛盾. 于是, ,从而 . 此时 的平方根有两个: ,它们是两个共轭的纯虚数.
2 实系数一元二次方程
我们现在在复数范围求解实系数一元二次方程 . 用配方法,得到
这就是说, 是实数 的平方根. 由前面关于实数平方根的讨论, 就可以回答本节引言中所提的两个问题了, 其答案是: 在复数范围内,
(1)当 时,方程有两个不相等的实根 ;
(2)当 时,方程有两个相等的实根 (二重根) ;
(3)当 时,方程有一对共轭虚根 .
例题 2
例 2 在复数范围内解方程: .
例题 3
例 3 如果 都是实数,而关于 的方程 有一个根 ,求 的值.
例题 4
例 4 在复数范围将 分解因式.
练习 9.3
练习9.3 · 1
- 已知 是一个实常数，而关于 的一元二次方程 有两个虚根. 求 的取值范围.
练习9.3 · 2
- 在复数范围内解方程:
(1) ； (2) ；
(3) .
练习9.3 · 3
- 若 和 是方程 的两个根,求 的值.
习题 9.3
A 组
习题9.3A · 1
- 在复数范围内解下列一元二次方程:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
习题9.3A · 2
- 已知 是实系数一元二次方程 一个根,求 的值.
习题9.3A · 3
- 已知关于 的实系数一元二次方程 有两个虚根 和 ,且 . 求 的值.
B 组
习题9.3B · 1
- 在复数范围内解方程:
(1) ； (2) .
习题9.3B · 2
- 已知两个复数的和为 4 、积为 6 ，求这两个复数.
习题9.3B · 3
- 在复数范围内分解因式:
(1) ; (2) ；
(3) .
习题9.3B · 4
- 已知关于 的实系数一元二次方程 有两个虚根 和 ，且 . 求 的值.
探究与实践
同学们也许会注意到,用配方法导出 时并不在乎原来的一元二次方程 是否具有实系数. 当方程不局限于实系数时,判别式 可能为虚数. 如果我们有方法能够找出任意复数的平方根, 那么一般复系数一元二次方程就可解了. 要得到一个复数 的平方根,可以从假设 ( )开始,令等式两边的实部、虚部分别相等,得到关于 的方程组并求解. 这个方法是可行的, 有兴趣的同学不妨一试.