复数的几何意义.

例 1 在复平面上有点 、 ,分别写出这四个点所对应的复数 , 并求这些复数的共轭复数在复平面上所对应的点的坐标.

例 2 在复平面上作出表示下列复数的向量:

图 9-2-4

例 3 设复平面上的点 和点 所对应的复数分别为 和 ,试用 和 表示复平面上的向量 所对应的复数 .

例 4 设 ,复平面上的点 与 分别表示 与 . 求证: .

例 5 如图 9-2-6,在复平面上给定平行四边形 , 其中点 与点 分别对应于复数 与 . 求点 所对应的复数.

图 9-2-6

1. 当复数 满足下列条件时,分别指出 在复平面上所对应的点 的位置:

(1) 是正实数； (2) 是负实数；

(3) 是实部小于零、虚部大于零的虚数；(4) 是虚部小于零的纯虚数.

2. 如果复数 在复平面上所对应的点在第四象限,求 的取值范围.

3. 设复数 与 在复平面上所对应的向量分别为 与 ( 为坐标原点), 求向量 及 所对应的复数.

4. 已知复平面上有点 和点 ,使得向量 所对应的复数是 . 求点 的坐标.

例 6 求下列复数的模:

(1) ；

(2)

例 7 已知复数 满足 ,求证: 是实数.

例 8 求下列复数的模:

(1) ；

(2) .

例 9 设复数 和复数 在复平面上分别对应点 和点 ,求 两点间的距离.

1. 计算下列复数的模:

(1) ； (2) ；

(3) .

2. 设复数 与 在复平面上所对应的点为 与 ,试指出 与以原点为圆心、 10 为半径的圆 的位置关系.

3. 设复平面上平行四边形 的顶点 的坐标分别为 、 ,求 的长度.

4. 求复数 与 在复平面上所对应的点之间的距离.

1. 设复数 .

(1)在复平面上分别作出这些复数所对应的点 ；

(2)在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量.

2. 求实数 的值或取值范围,使得复数 在复平面上所对应的点 分别位于

(1)实轴上; (2)虚轴上; (3)第四象限.

3. 设在复平面上的点 与点 所对应的复数分别为 与 ,对于下列各组复数,分别求向量 和向量 所对应的复数:

(1) ； (2)

4. 已知复平面上有点 和点 ,向量 与向量 所对应的复数分别为 与 4-i. 求点 的坐标.

5. 设复数 、 、 在复平面上所对应的点分别为 、 、 ,求 的面积.

6. 计算:

(1) ； (2) ；

(3) ; (4) .

7. 已知 ,其中 . 求 的值.

8. 设复数 的模为 1,求 的值.

9. 已知复数 的实部与虚部互为相反数，求 .

10. 若复数 ,复数 满足 ,且 是纯虚数,求复数 .

1. 选择题:

(1)设复平面上表示 和 的点分别为点 和点 ，则表示向量 的复数在复平面上所对应的点位于 ( )

A. 第一象限; B. 第二象限; C. 第三象限; D. 第四象限.

(2)复平面上平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是 ( )

A. 正数; B. 负数;

C. 纯虚数; D. 实部不为零的虚数.

2. 已知复平面上平行四边形 的顶点 的坐标分别是 、 ,求点 的坐标和向量 所对应的复数.

3. 设复数 与 分别对应复平面上的向量 与 ,已知 , . 求 与 .

4. 已知复数 满足 ,且 不是纯虚数. 求证: 是纯虚数.

5. 证明: 集合 中的所有复数在复平面上所对应的点在同一个圆上.

6. 设 ,求证: .

7. 若复数 满足 ,求 .