例题 1例 1 计算: (1)(1+3i)+(-4+2i)； (2)(3-2i)-(3+2i)； (3) ； (4) . 教材 L73–82答案与解析收起 / 展开解 (1) . (2) ， (3) (4) 下面讨论复数系中的除法运算. 就像在实数系中一样,复数系中的除法也是作为乘法的逆运算定义的. 复数 除以非零复数 R),就是求一个复数 ,使得 为了找出 ,我们把上式两边同乘 ,得到 即 . 由于 是一个非零复数,实数 ,从而可以在等式两边同乘 ,得到 与初中学过的形如 的根式之间的运算作个类比. 下一步,我们用复数乘法公式不难验证求出的 确实满足 (留作习题). 这就证明了 的存在性及唯一性. 因此,在复数系中可以做除法,且如果把 除以 的商以分式形式记为 ,就有如下复数除法公式: 与做复数的加减法及乘法类似, 同学们并不需要死记这个除法公式,实际要做的只是化简分式 . 我们可以把分子与分母同乘 后再化简整理,即得 教材 L83–148
例题 2例 2 计算: (1) ； (2) . 教材 L149–154答案与解析收起 / 展开解 (1) . (2) 我们还约定若干个相同复数相乘可以写成幂的形式: 对任意复数 与任何正整数 表示 个 相乘. 非零复数的负指数幂也是有意义的: 当 时,对任何正整数 ; 当 时,还约定 同底数幂的运算规则同样适用于复数,如 (这里 都是整数). 这个方法是否似曾相识? 与分母有理化过程做一比较. 此外, 因为复数关于加法和乘法的运算律都成立, 所以两实数和(差)的完全平方公式以及平方差公式等常用的乘法公式在复数范围内也都适用. 教材 L155–172
例题 3例 3 (1)计算虚数单位 i 的整数次幂，并找出规律； (2)对任意整数 ，计算 . 教材 L173–176答案与解析收起 / 展开解(1)我们有 由最后一个等式,推知对任意整数 . 因此, i 的幂的一般规律是:对任意给定的整数 ，均有 (2) 教材 L177–196
练习9.1(1) · 2 计算: (1) ； (2) ； (3) ；___ (4) ； (5) ； (6) . 教材 L209–216答案与解析收起 / 展开 (1) . (2) . (3) . (4) . (5) . (6) . 教参 L268–271
例题 5例 5 填写下表: 是否复数是否实数是否虚数是否纯虚数-0.5i02i-5教材 L231–234答案与解析收起 / 展开解 是否复数是否实数是否虚数是否纯虚数-0.5i是否是是0-0.5是否是否是是否否00是是否否00是是否否✓302i-5是否是否-52教材 L235–238
例题 6例 6 求实数 的值或取值范围,使得复数 分别是: (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4) 0 . 教材 L239–250答案与解析收起 / 展开解 (1) 为实数当且仅当 ,即 或 . 所以,当 或 时,复数 是实数. (2) 是虚数当且仅当 ，即 且 . 所以,当 或 或 时,复数 是虚数. (3) 是纯虚数当且仅当 即 唯一满足此条件的 的值是 . 所以,当 时,复数 是纯虚数. (4) 当且仅当 即 唯一满足此条件的 的值是 . 所以,当 时,复数 等于 0 . 在推导复数除法公式时, 如果除数 (如果把除法写成分式, 就是分母)是 ,我们把被除数与除数 (分子与分母) 同乘复数 ,就可把除数 (分母) 化为实数 . 像 与 这样实部相同而虚部互为相反数的一对复数叫做共轭复数 (conjugate complex number), 也称这两个复数互为共轭, 或者说其中的一个数是另一个数的共轭复数. 共轭复数是复数理论中的一个重要概念. 一对共轭复数的积必为实数, 用此性质可以把分母的虚数化为实数, 从而把除法的结果写成复数的代数形式. 共轭复数的更多性质和应用在进一步的学习中还会见到. 一个复数 的共轭复数记为 . 因此,若 R),则 . 共轭复数具有如下性质: (1)一个复数的共轭复数的共轭复数是它自己, 即对任何复数 ; (2)取共轭复数的过程与复数的四则运算可交换，即对复数 与 , 且当 时, . 性质 (1) 从共轭复数的定义即得. 性质 (2) 的含义是, 两个过程 (“取共轭”与 “作四则运算”) 的先后次序可以交换, 即对一个四则运算的结果取共轭, 与先对参与四则运算的各数取共轭后再作四则运算, 所得的结果是一样的. 性质(2)对加法与减法，验证是直截了当的，留作练习. 下面对乘法与除法分别验证这个性质. 设 ,则 从而乘法的情况得证. 现设 ,则由乘法情形的结果,有 . 由于 也不等于 0,等式两边同除以 ,便得到 , 这就是除法时的结论. 教材 L251–296
例题 7例 7 设 是复数,求证: 是 的充要条件. 教材 L297–298答案与解析收起 / 展开证明 必要性: 由 ,可知 的代数形式 中 ,所以 . 充分性: 设复数 满足 ,即 . 由复数相等的充要条件,得 ,从而 ,即 . 教材 L299–302
练习9.1(2) · 2 在下列复数中, 哪些是实数? 哪些是虚数? 哪些是纯虚数? 各数的实部和虚部分别是什么? 教材 L319–324答案与解析收起 / 展开 在复数 中, 是实数, 是虚数, 是纯虚数. 复数 的实部是 -5,虚部是 6 . 复数 的实部是 ,虚部是 . 复数一 的实部是 ,虚部是 0 . 复数 的实部是0,虚部是 1 . 复数 0 的实部是 0 , 虚部是 0 . 复数 的实部是 ,虚部是 . 教参 L278–281
练习9.1(2) · 3 下列关于复数 和 的命题是真命题还是假命题? 请给出结论并说明理由. (1) 一定是实数； (2) 一定是纯虚数； (3)若 ，则 是实数； (4)若 ，则 是纯虚数. 教材 L325–330答案与解析收起 / 展开 (1)真命题. 设 ,则 . (2)假命题. 若 ,则 ,不是纯虚数. (3)真命题. 设 ,则 . 由 ,得 . 所以 . (4)假命题. 若 ,则 ,此时 ,但 0 不是纯虚数. 教参 L282–289
练习9.1(2) · 4 求实数 的值或取值范围,使得复数 分别是: (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 教材 L331–334答案与解析收起 / 展开 (1) . (2) 或 . (3) . 教参 L290–291
习题9.1A · 3 计算: (1) ；___ (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) ； (9) . 教材 L343–354答案与解析收起 / 展开 (1) . (2) . (3) . (4) . (5) . (6) . (7) . (8) . (9) . 教参 L300–305
习题9.1A · 11 求实数 的值,使得复数 分别是: (1)实数； (2)纯虚数； (3)零. 教材 L369–372答案与解析收起 / 展开 (1) 或 . (2) . (3) . 教参 L320–321
习题9.1B · 5 是否存在实数 ,使得复数 分别满足下列条件? 若存在,求出 的值或取值范围; 若不存在,请说明理由. (1) 是实数； (2) 是虚数； (3) 是纯虚数； (4)z 是零. 教材 L389–394答案与解析收起 / 展开 (1) 或 (2) 或 或 或 或 . (3) 不存在. (4) . 教参 L334–337
习题9.1B · 6 选择题: (1)设 ，则 “ 中至少有一个虚数” 是 “ 为虚数” 的(C) ( ) A. 充分非必要条件; B. 必要非充分条件; C. 充要条件; D. 既非充分也非必要条件. (2)若实数 使得(1-i)+(1+i) ，则 ( ) A. ; B. ; C. 且 ; D. 可以是任意实数. 教材 L395–408答案与解析收起 / 展开 (1) B. (2) D. 教参 L338–339