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SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 6.2

教师整合版 / 沪教版高中数学

常用三角公式.

必修第二册
第6章三角 · 保留教材主线与原题

1 个阅读模块17 个例题34 道练习与习题
6.2

常用三角公式

教材与正式教参整合

1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

我们先推导两角差 的余弦公式.

设 为任意给定的两个角,把它们的顶点置于平面直角坐标系的原点 ,始边都与 轴的正半轴重合,而它们的终边分别与单位圆相交于 两点 (图 6-2-1). 点 的坐标分别为 .

教材或教参原图

图 6-2-1

教材或教参原图

图 6-2-2

下面考虑角 的余弦. 为此把角 的终边 及 都绕原点 旋转 角,它们分别交单位圆于点 及 (图6-2-2). 由于都转动了 角,因此 也可以是一个以射线 为始边、以射线 为终边的角,而点 的坐标是 ,点 的坐标是 .

根据两点间的距离公式,在图 6-2-1 中,有

而在图 6-2-2 中, 有

因为将射线 同时绕原点 旋转 角,就分别得到射线 ,所以

从而得到

即

这样, 我们就得到两角和与差的余弦公式

简记作

教材 L1012–1100
例题 2

例 2 已知 . 求 .

教材 L1117–1118
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解 由 ,得 .

由 ,得 .

于是

教材 L1119–1132
例题 3

例 3 若 为锐角, . 求角 .

教材 L1133–1134
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解 由 为锐角,且 ,得 .

又由 为锐角,得 ,从而

于是

因为 为锐角,所以 .

教材 L1135–1154

练习 6.2(1)

练习6.2(1) · 3
  1. 证明:

(1) ;

(2) .

根据两角差的余弦公式和诱导公式, 就可以得到两角和的正弦公式. 事实上，

将上式中的 用 代换,就可以得到两角差的正弦公式

这样, 我们得到两角和与差的正弦公式

简记作

教材 L1165–1206
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  1. 证明: (1) .

(2) .

教参 L432–435
例题 5

例 5 证明: .

教材 L1219–1220
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证明 左边

所以，原等式成立.

根据两角和的正弦、余弦公式, 就可以得到两角和的正切公式. 事实上，

将上式中的 用 代换,就得到两角差的正切公式

这样, 我们得到两角和与差的正切公式

简记作

不难知道,只要 和 均有意义,上面的公式一定成立.

教材 L1221–1274

练习 6.2(2)

例题 9

例 9 如图 6-2-3,已知点 的坐标为 ,将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 . 求点 的坐标.

教材或教参原图

图 6-2-3

教材 L1363–1364 · 教材 L1359–1361
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解 设以 轴正半轴为始边、 为终边的角为 .

由点 的坐标为 ,可得 .

设点 的坐标为 ,由 ,得

于是,点 的坐标为 .

教材 L1365–1388
例题 10

例 10 把下列各式化为 的形式:

(1) ；

(2) ；

(3) .

教材 L1389–1396
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解 (1) .

(2)因为

所以

(3) .

注意到 为单位圆上的一点,由正弦及余弦的定义,存在唯一的角 ,使得

于是有

教材 L1397–1428

练习 6.2(3)

2 二倍角公式

在两角和的正弦、余弦和正切公式中,用 代入,就得到二倍角的正弦、余弦和正切公式

教材 L1442–1464
例题 12

例 12 试用 表示 .

教材 L1487–1488
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解 因为

所以 .

这个公式称为三倍角的余弦公式. 类似地, 可以推导出三倍角的正弦公式.

教材 L1489–1506
例题 13

例 13 证明:

(1) ；

历史上，三倍角公式曾为求解一元三次方程提供思路.

(2) .

教材 L1507–1518
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证明 (1)

教材 L1519–1530

练习 6.2(4)

3 三角变换的应用

在学习两角和与差的公式、二倍角公式的基础上，我们可以推导出更多的三角恒等关系. 如果已知角 的正弦、余弦及正切值,用二倍角公式就可以得到角 的相应值. 反之,如果已知角 的正弦、余弦及正切值,也可以得到角 的相应值.

教材 L1548–1550
例题 14

例 14 用 分别表示 及 .

教材 L1551–1552
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解 因为 ,所以

从而 .

从例 14 不难得到以下公式:

它们分别叫做半角的正弦、余弦和正切公式. 其中, 公式右侧的 “ ”号,根据角 所在的象限由左侧值相应的符号确定.

例如,因为 是第一象限的角,所以 ,从而

教材 L1553–1582
例题 15

例 15 证明: .

教材 L1583–1584
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证明 .

这样, 半角的正切公式又可以表示为

半角的正切公式还可以表示为

例如, .

教材 L1585–1600
例题 16

例 16 证明: .

教材 L1601–1602
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证明 我们已经知道

将上述两式相加, 得

即

类似地, 利用两角和与差的正弦、余弦公式, 就可以得到下面一组公式:

它们统称为积化和差公式.

教材 L1603–1644
例题 17

例 17 证明: .

教材 L1645–1646
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证明 由例 16,有 , 在其中取 ,就有

即 .

类似地, 我们可以得到下面一组公式:

它们统称为和差化积公式.

积化和差公式与和差化积公式相互等价, 都可由两角和与差的正弦、余弦公式通过恒等变换得到. 这两组公式常用来化简比较复杂的三角表达式.

教材 L1647–1676

练习 6.2(5)

习题 6.2

A 组

习题6.2A · 1
  1. 利用两角和与差的相应公式, 分别求下列各值:

(1) ； (2)sin ； (3) .

教材 L1689–1692
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  1. (1) . (2) . (3) .
教参 L478–479
习题6.2A · 9
  1. 已知等腰三角形的底角的正弦值等于 ,求这个三角形的顶角的正弦、余弦和正切值.
教材 L1719–1720
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  1. 顶角的正弦、余弦和正切值分别为 和 .
教参 L496–497
习题6.2A · 10
  1. 证明下列恒等式:

(1) ； (2) ；

(3) ；___ (4) .

教材 L1721–1726
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  1. 证明: .

(2)等式右边 左边,所以原式成立.

(3) .

(4) .

教参 L498–505

B 组

习题6.2B · 8
  1. 设点 是以原点为圆心的单位圆上的一个动点,它从初始位置 出发,沿单位圆按逆时针方向转动角 后到达点 ,然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角 到达点 . 若点 的横坐标为 ,求点 的坐标.
教材 L1749–1750
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  1. .
教参 L522–523

探究与实践

教材 L1754–1756

课后阅读

三角变换公式简史

三角变换公式很早就为数学家所熟知. 在古希腊时期, 由于研究天文的需要, 所考察的主要是球面三角学. 数学家托勒密(C. Ptolemy)在其《大汇编》一书中就给出了已知 及 ,求 与 的方法,即两角和与差的正弦公式 . 他在书中还详细给出了在知道 及 的正弦的基础上,如何求出 的正弦的方法,并给出了已知 求 和 的方法. 在此基础上,他对从 到 间所有相差 的角度编制出了正弦表.

虽然很多三角恒等式在托勒密的《大汇编》中都已存在, 但法国数学家韦达(F. Viete) 进行了较为系统的整理、补充和发展. 韦达是最早将代数变换方法引入三角学的人，他不仅给出了和差化积公式,也对 倍角的 及 进行了深入的研究. 在研究奇数等分角的过程中,他发现了一元三次方程 如下的三角解法: 在三倍角余弦公式 中,令 ,就可知 为上述三次方程的一个根. 不仅如此,他还根据 倍角的 的公式,给出了一个 45 次方程的 23 个根 (可惜的是, 其余的 22 个负根均被舍去).

从三角学发展史看, 利用几何知识证明三角变换公式十分常见, 韦达就曾用几何知识证明了和差化积公式. 这里我们给出倍角公式的一个几何证明方法.

教材或教参原图

图 6-2-4

如图 6-2-4, 是圆心为 且半径为 1 的圆的一条直径,点 为圆上一点. 连接 ,并过点 作 ,记其垂足为 . 设 ,则 . 因为 为圆 的一条直径,所以 .

在直角三角形 中,有 . 于是,在直角三角形 中,就有 及

但在直角三角形 中,有 .

比较上面的式子,就得到倍角公式: .

同学们也可思考其他一些三角变换公式的几何证明. 虽然几何方法直观, 但在上述公式的证明过程中,角的限定范围多在 或 之间. 考虑到一般性,我们在本书中借助于平面直角坐标系及单位圆来论证三角公式, 并利用代换和转化思想得到更多的三角公式.

教材 L1760–1780
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