例题 1
例 1 判断下列各角分别属于哪个象限:
(1) ； (2) .
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 6.1
学生阅读版 / 沪教版高中数学
正弦、余弦、正切、余切.
必修第二册
第6章三角 · 保留教材主线与原题
正弦、余弦、正切、余切
教材与正式教参整合
第6章 三角
在平面几何中我们已经知道, 在一个三角形中，大角对大边，但这只是一个关于边与角之间关系的定性性质. 为了定量地刻画三角形的边与角之间的关系，为测量、航海及天文等方面的实际应用提供依据，需要引入一个角的正弦、余弦、正切、余切等概念，建立三角学的基本理论. 在初中，当一个角为锐角时，已经对有关的概念及结论做了初步的讨论, 并介绍了求解直角三角形的方法及其应用. 本章将拓展角的概念, 并对一个任意给定的角给出其相应的正弦、余弦、正切、余切的定义, 学习使用三角恒等变换化简三角表达式, 进一步探讨三角形中边与角之间的定量关系, 从而有效地解决有关的实际问题, 并为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何、立体几何等后续章节奠定基础.
1 锐角的正弦、余弦、正切、余切
图 6-1-1
如图 6-1-1,将直角三角形 中(其中 ) 、 的对边边长分别记作 . 在初中我们已经知道, 锐角 的正弦、余弦、正切、余切的定义分别为
由简单的比值关系以及勾股定理, 还有如下结论:
我们还知道如下一些特殊角的正弦、余弦、正切、余切值 (表 6-1):
表 6-1
| 角度 | ||||
| 1 | ||||
| 2 | 1 | 1 | ||
2 任意角及其度量
在小学和初中我们已经知道, 角是具有公共端点的两条射线所组成的图形, 角还可以看作是平面上由一条射线绕着其端点从初始位置(始边)旋转到终止位置(终边)所形成的图形(图 6-1-2). 我们以前学习过的锐角、直角、钝角、平角和周角, 其大小都在 到 之间. 不过在体操、跳水等体育运动中,会听到转体 720°、转体1 080°等术语；当手表比标准时间慢或者快 10 分钟的时候,只需要将分针旋转 就可以调节准确,但也有按顺时针和逆时针方向旋转的差异. 因此,要准确地刻画这些现象,对于角而言, 不但要考察旋转量, 而且要考察旋转方向, 这就需要适当推广角的概念.
图 6-1-2
习惯上规定:一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角, 其度量值是负的(图 6-1-2).
这样, 我们可将角的概念推广到任意角, 包括正角、负角与零角,也包括超过 的角.
为了便于研究角及与其相关的问题, 可将角置于平面直角坐标系中,使得角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 轴的正半轴重合. 此时角的终边在第几象限, 就说这个角是第几象限的角,或者说这个角属于第几象限. 如图 6-1-3, 和 都是第一象限的角, 和 都是第二象限的角. 当角的终边在坐标轴上时, 就不说这些角属于哪一象限.
图 6-1-3
例如,若角 是第一象限的角,将其终边绕原点逆时针旋转 后,所得的角 是第二象限的角; 将其终边绕原点逆时针旋转 后,所得的角 是第三象限的角; 而将其终边绕原点顺时针旋转 后,所得的角 则是第四象限的角.
从角的形成过程中可以看到,与某一个角 的始边相同且终边重合的角有无数个,它们的大小与角 都相差 的整数倍. 在图 6-1-3 中, 的角和 的角的终边重合,前者与后者之差为 的角和 的角的终边重合,前者与后者之差为 . 进一步,我们可以把所有与角 的终边重合的角 (包括角 本身)的集合表示为
为简单起见, 在不引起混淆的前提下， “角 ”或“ ”可简记作“ ”.
例题 2
例 2 写出与 的终边重合的所有角组成的集合 , 并列举 中满足不等式 的所有元素 .
练习 6.1(1)
练习6.1(1) · 1
- 判断下列命题是否正确:
(1)终边重合的两个角相等; (2)锐角是第一象限的角；
(3)第二象限的角是钝角； (4)小于 的角都是锐角.
练习6.1(1) · 2
- 分别用集合的形式表示终边位于第三象限的所有角和终边位于 轴正半轴上的所有角.
练习6.1(1) · 3
- 在 范围内,分别找出终边与下列各角的终边重合的角,并判断它们是第几象限的角:
(1)一315°； (2)905.3°； (3)一1090°； (4) .
度量长度可以用米为单位, 度量质量可以用千克为单位, 适当的单位制会给解决问题带来极大的便利. 度量角的大小与度量其他量一样, 也要选择一个同类的量作为度量的单位. 在平面几何中,我们把周角的 作为 1 度. 用 “度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
表示角的方法，用角度制虽很直观，但很多情况下并不一定方便. 下面我们引入一种度量角的新方法. 观察不难发现: 在半径为 的圆中,当圆心角为 时,圆的周长为 ; 当圆心角为 时,半圆的弧长为 ; 而当圆心角为 时,四分之一圆的弧长为 . 由初中所学习的计算扇形弧长公式可知,在给定半径的圆中, 弧的长度与相应圆心角的大小成正比例关系, 因此我们不仅可以用角度来度量弧的长度,而且可以用弧长来度量角的大小. 具体来说,在半径为 的圆周上,弧长 与以角度度量的圆心角 之间的关系式为 ,即 ,这说明比值 仅由角 的大小决定. 这样我们就可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧所对的圆心角的大小. 相应地，把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 (radian) 的角 (图 6-1-4). 用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
图 6-1-4
一般地说,如果一个半径为 的圆的圆心角 所对的弧长为 ,那么 就是角 的弧度的绝对值,即 ,这里 的符号由它的始边旋转至终边的方向决定. 零角的弧度数为 0 . 从弧度的定义不难得知,周角为 弧度,即 弧度; 平角为 弧度,即 弧度. 从而有
在学习微积分后可以更明显地看出弧度制的优点.
例题 3
例 3 按下列要求,将 换算成弧度:
(1)精确值;
(2)近似值. (结果精确到 0.001)
例题 4
例 4 将 2.1 弧度换算成角度. (用度数表示, 结果保留两位小数)
例题 5
例 5 写出终边在 轴上的所有角组成的集合. (用弧度制表示)
例题 6
例 6 设 是第二象限的角,判断 是哪个象限的角.
练习 6.1(2)
练习6.1(2) · 1
- 分别将下列角度化为弧度:
; ; .
练习6.1(2) · 2
- 分别将下列弧度化为角度:
-3 (结果精确到 ).
练习6.1(2) · 3
- 已知扇形的弧所对的圆心角为 ,且半径为 . 求该扇形的弧长和面积.
练习6.1(2) · 4
- 如果 是第三象限的角,判断 是哪个象限的角.
3 任意角的正弦、余弦、正切、余切
我们将锐角 置于平面直角坐标系中,使角 的顶点与坐标原点 重合,始边与 轴的正半轴重合,那么它的终边必在第一象限. 如图 6-1-6,在角 的终边上任取异于原点的一点 ,它与原点的距离 . 过点 作 轴的垂线,设垂足为 ,则线段 的长度 为 ,而线段 的长度 为 . 根据锐角的正弦、余弦、正切及余切的定义, 有
图 6-1-6
线段 的长度通常用 表示. 在不引起混淆的前提下， 也可用 OM 表示.
这说明锐角 的正弦、余弦、正切及余切可以用角 的终边上点的坐标来定义. 这样,就可以对任意给定的角 ,定义其相应的正弦、余弦、正切及余切.
图 6-1-7
如图 6-1-7,在任意角 的终边上任取异于原点的一点 , 设其坐标为 ,并令 ,必有 . 这样,就可以分别定义角 的正弦、余弦、正切、余切为
应当注意的是: 当 ,即角 的终边位于 轴上时, 无意义; 而当 ,即角 的终边位于 轴上时, 无意义.
例题 7
例 7 已知角 的终边经过点 ,求角 的正弦、 余弦、正切及余切值.
例题 8
例 8 已知角 的终边经过点 ,求角 的正弦、 余弦、正切及余切值.
例题 9
例 9 若角 满足 ,且 ,则角 属于第几象限?
练习 6.1(3)
练习6.1(3) · 1
- 已知角 的终边过点 ,求角 的正弦、余弦、正切及余切值.
练习6.1(3) · 2
- 已知角 的终边过点 ,则下列值不存在的是 ( )
A. ; B. ;
C. ; D. .
练习6.1(3) · 3
- 根据下列条件,分别判断角 属于第几象限:
(1) 且 ; (2) 且 .
根据定义,角 的正弦、余弦、正切及余切值仅与角 的大小有关,而与角 的终边上的点 的位置无关,因此我们可以用角 的终边上到原点距离为 1 的点来确定角 的正弦、余弦、 正切及余切值.
半径为 1 个单位的圆称为单位圆(unit circle). 本章中, 如无特别说明, 单位圆通常指在平面直角坐标系中以原点为圆心, 以 1 为半径的圆.
将角 的顶点置于坐标原点 ,始边与 轴的正半轴重合,
例题 10
例 10 求角 的正弦、余弦和正切值. 则角 的终边与以原点为圆心的单位圆交于唯一的一点 , 如图 6-1-9 所示. 这样,任意一个角 对应于单位圆上一点 ; 反之,单位圆上一点 可对应无穷多个角,但这些角的弧度数之差必为 的整数倍. 由定义可知, . 因此, 单位圆上点 的坐标必可以写为 .
图 6-1-9
图 6-1-10
例题 11
例 11 已知 ,且 为第二象限的角. 求 , 及 .
例题 12
例 12 已知 ,求 及 .
练习 6.1(4)
练习6.1(4) · 1
- 求角 的正弦、余弦、正切及余切值.
能否利用直角三角形知识与角的正弦、 余弦、正切和余切值在各象限的符号, 快速给出例 12 的答案?
练习6.1(4) · 2
- 分别求 和 的值.
练习6.1(4) · 3
- 已知 为第三象限的角, . 求 及 .
练习6.1(4) · 4
- 已知 ,求 及 .
利用任意角 的正弦、余弦、正切及余切之间的关系，可以化简表达式并证明一些恒等式.
例题 13
例 13 ( 1 )已知 ，求 的值；
( 2 )已知 ，求 的值.
例题 14
例 14 证明下列恒等式:
(1) ；
(2) ；
通常记
,
例 14(1)与(2)中的公
式就可简写为
.
(3) ；___
(4) .
练习 6.1(5)
练习6.1(5) · 1
- 已知 ,求 的值.
练习6.1(5) · 2
- 化简:
(1) ; (2) .
练习6.1(5) · 3
- 证明: .
4 诱导公式
这些角都与角 有特殊的关系. 已知角 的正弦、余弦、正切及余切值,能否快速给出上述这些角的正弦、余弦、正切及余切值？这就是诱导公式要解决的问题.
由于角 的终边与角 的终边重合,因此由定义有如下诱导公式:
由这组诱导公式, 求任意角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求 范围内一个角的相应值.
图 6-1-11
由这组诱导公式, 求负角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求正角的相应值.
图 6-1-12
由这组诱导公式,求 范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到 范围内一个角的相应值.
图 6-1-13
由这组诱导公式,求 范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到 范围内一个角的相应值.
利用以上四组诱导公式, 就可以将终边不位于坐标轴上的任意角的正弦、余弦、正切及余切值, 与初中已学过的锐角的相应值有机地联系起来.
以上四组诱导公式说明, 的正弦、余弦、正切及余切值的绝对值等于角 的相应量的绝对值, 但这两个值之间可能差一个正负号. 由于诱导公式较多, 记忆其中的正负号并不容易, 但有一个很简单的方法可以加以判断, 即: 当 为锐角时,等式两边必须同时为正数或同时为负数.
例如, 的绝对值应该同 的绝对值相等,即成立 . 但当 为锐角时, 是第二象限的角,这时 ,而 ,所以前式中应该取负号, 即有 .
例题 15
例 15 利用诱导公式求值:
(1) ;
(2) ;
(3) .
例题 16
例 16 化简: .
练习 6.1(6)
练习6.1(6) · 1
- 证明:
(1) ; (2) ;
(3) ； (4) .
练习6.1(6) · 2
- 利用诱导公式求值:
(1) (2) ； (3) .
练习6.1(6) · 3
- 化简:
(1) ;
(2) .
角 的终边与角 的终边关于直线 对称 (图 6-1-14),角 的终边与单位圆交于点 ,而角 的终边与单位圆交于点 . 由于点 与点 关于直线 对称,即点 的横坐标与点 的纵坐标相等,而点 的纵坐标与点 的横坐标相等,因此有如下诱导公式:
图 6-1-14
在以上公式中将 用 代换，就有
角 的终边和角 的终边关于角 的终边所在直线 对称; 角 的终边和角 的终边关于角 的终边所在直线 对称. 一般地,角 的终边和角 的终边关于角 的终边所在直线对称.
即
同理, 有如下诱导公式:
上述两组诱导公式说明正弦和余弦可以互相转化, 正切和余切也可以互相转化.
以上两组诱导公式说明角 的正(余)弦、正(余)切值的绝对值,必等于角 的余(正)弦、余(正)切值的绝对值,但这两者可能差一个正负号. 这个正负号的确定方法是: 当 为锐角时, 等式两边必须同时为正数或同时为负数.
例如, 的绝对值应该同 的绝对值相等,即成立 . 但当 为锐角时, 是第二象限的角,这时 ,而 ,所以前式中应该取负号,即有 .
例题 17
例 17 证明:
(1) ;
(2) ；
(3) ;
(4) .
例 17 中的这组公式也可称为诱导公式. 观察所有上述这些诱导公式,关于角 的正弦、余弦、正切及余切值呈现的规律可以总结为如下口诀: 奇变偶不变, 符号看象限. 例如, 及 都是 的奇数倍,如果等式左边是 的正弦、余弦、正切、余切之一,那么等式右边相应的必定是 的余弦、正弦、余切、正切,这就是“奇变”; 而 都是 的偶数倍,等式两边的正弦、余弦、正切及余切的名称就应该相同，这就是“偶不变”. 等式右边角 的正弦、余弦、正切及余切前的符号可以将 视为锐角 (实际上 此时可以为任意
角),由等式左边的角 所在象限的正弦、余弦、正切及余切值的符号来确定，即“符号看象限”. 这一点在前面已有说明.
例题 18
例 18 化简: .
例题 19
例 19 已知点 的坐标为 ,将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 . 求点 的坐标.
图 6-1-15
练习 6.1(7)
练习6.1(7) · 1
- 证明:
(1) ; (2) ；
(3) ； (4) .
练习6.1(7) · 2
- 化简: .
练习6.1(7) · 3
- 已知点 的坐标为 ,将 绕坐标原点 顺时针旋转 至 . 求点 的坐标.
5 已知正弦、余弦或正切值求角
如果 是锐角,且满足 ,那么 . 如果不限定 是锐角,那么由诱导公式 可知, 也满足 . 再由诱导公式 可知, 或 都满足 . 那么,是否还有其他的角 满足 呢? 下面我们就来研究这个问题.
图 6-1-16
为此目的,设 是一个任意给定的角,我们希望确定所有满足 的角 . 设角 的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为 ,过点 作 轴的垂线,如图 6-1-16(1) 所示. 由正弦的定义，满足 的角 的终边与单位圆的交点必在此直线上.
当 时，此直线交单位圆于两点 和 . 由于这两点分别位于角 和角 的终边上,因此满足 的角 的全体为 或 , ,可简记作 .
当 时,过点 且垂直于 轴的直线与单位圆相切于 ,此时满足 的角 的全体为 ,这个集合也可以用上面所示的形式来表示. 事实上, 其表达式与上述集合第一部分中所给的表达式完全相同, 而对于上述集合第二部分所给的表达式, 由于在 时,
此时它也与上述集合第一部分中所给的表达式一致.
这样, 我们就得到:
若 ,则
即
同理,如图 6-1-16(2),若角 的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为 ,则由余弦的定义,满足 的角 的终边与单位圆的交点在过点 且垂直于 轴的直线上,从而满足 的角 的全体为 . 这样, 我们就得到:
若 ,则 .
如图 6-1-16(3)，若角 的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为 ,则由正切的定义,满足 的角 的终边与单位圆的交点在过原点 和点 的直线上,从而满足 的角 的全体为 . 这样,我们就得到:
若 ,则 .
例题 20
例 20 根据下列条件,分别求角 :
(1)已知 ；
(2)已知 ；
(3)已知 .
例题 21
例 21 分别求满足下列条件的角 的集合:
(1) ；
(2) ；___
(3) .
练习 6.1(8)
练习6.1(8) · 1
- 根据下列条件,分别求角 :
(1)已知 ；
(2)已知 ；
(3)已知 .
练习6.1(8) · 2
- 分别求满足下列条件的角 的集合:
(1) ；
(2) ；
(3) .
习题 6.1
A 组
习题6.1A · 1
- 选择题:
(1)在下列各组的两个角中，终边不重合的一组是 ( )
A. -43° 与 677° ; B. 与 ;
C. -120° 与 960°; D. 与 .
(2)在平面直角坐标系中，下列结论正确的是 ( )
A. 小于 的角一定是锐角; B. 第二象限的角一定是钝角;
C. 始边相同且相等的角的终边一定重合; D. 始边相同且终边重合的角一定相等.
(3)如果 是锐角,那么 是 ( )
A. 第一象限的角; B. 第二象限的角;
C. 小于 的正角; D. 钝角.
习题6.1A · 2
- 找出与下列各角的终边重合的角 ,并判别下列各角是第几象限的角:
(1)一1441°； (2) .
习题6.1A · 3
- 把下列各角度化为弧度, 并判断它们是第几象限的角:
(1) ; (2) ； (3) ； (4) .
习题6.1A · 4
- 已知扇形的弧长为 ,半径为 2. 求该扇形的圆心角 及面积 .
习题6.1A · 5
- 已知角 的终边分别经过以下各点,求角 的正弦、余弦、正切和余切值:
(1) ； (2) .
习题6.1A · 6
- 不用计算器, 根据角所属的象限, 判断下列各式的符号:
(1)sin ; (2) ;
(3) .
习题6.1A · 7
- 根据下列条件,确定角 所属的象限:
(1) 且 ；
(2) .
习题6.1A · 8
- 分别求 及 的正弦、余弦及正切值.
习题6.1A · 9
- ( 1 )已知 ，且 是第四象限的角. 求 及 ；
( 2 )已知 ，求 及 .
习题6.1A · 10
- 证明下列恒等式:
(1) ;
(2) .
习题6.1A · 11
- ( 1 )已知 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值.
习题6.1A · 12
- 用诱导公式求值:
(1) ； (2) ； (3) ； (4) .
习题6.1A · 13
- 利用诱导公式,分别求角 和 的正弦、余弦及正切值.
习题6.1A · 14
- 化简下列各式:
(1) ;
(2) ;
(3) ；
(4) .
B 组
习题6.1B · 1
- 写出与下列各角的终边重合的所有角组成的集合 ,并写出 中适合不等式 的元素 :
(1) 60°; (2) .
习题6.1B · 2
- 已知 ,若将角 的终边顺时针旋转 所得的角的终边与角 的 5 倍角的终边重合. 求角 .
习题6.1B · 3
- 已知一个扇形的周长是 16 , 面积是 12 . 求其圆心角的大小.
习题6.1B · 4
- 写出终边在直线 上的所有角组成的集合. (分别用角度制和弧度制来表示)
习题6.1B · 5
- 填空题:
(1)若 为第二象限的角，则 为第___象限的角；
(2)若角 的终边与角 的终边关于 轴对称，则 与 的关系是___；
(3)若角 与 满足关系 ，则角 与 的终边关于___ 对称.
习题6.1B · 6
- 已知一个扇形的周长为 ，当圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大，并求该最大值.
习题6.1B · 7
- 已知 为第二象限的角,其终边上有一点 ,且 . 求 .
习题6.1B · 8
- 证明下列恒等式:
(1) ;
(2) .
习题6.1B · 9
- 已知 是第二象限的角,化简: .
习题6.1B · 10
- 已知 . 求 和 .
习题6.1B · 11
- 已知 及 是关于 的方程 的两个实根,求实数 .
习题6.1B · 12
- 根据下列条件,求角 :
(1) ，且 是第三象限的角； (2) ；
(3) ； (4) .