复习题A · 1
- 设一元二次方程 的两个实根为 ,求下列各式的值:
(1) ； (2) .
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION chapter-end-2
学生阅读版 / 沪教版高中数学
章末阅读、内容提要与复习题.
必修第一册
第2章等式与不等式 · 保留教材主线与原题
章末阅读、内容提要与复习题
教材与正式教参整合
调和平均值与算术平均值不等式
船速一定的汽船, 在静水中和有流速的河中往返航行同样的距离, 所需的时间是否一样？有人认为二者所需的时间是一样的, 他们的理由是: 当河水有流速时, 汽船逆流上行虽然速度要减慢，但回来时顺流下行的速度要加快，二者互相补偿，航行时间就应和在静水中往返一次所需的时间一样.
上面的说法貌似有理，但事实却并非如此. 为说明这一点，只需做一下简单的计算就可以了. 设汽船在静水中航行的速度为 ,河水的流速为 ,汽船在河流中航行的单程距离为 . 那么汽船逆流上行的实际速度是 ,而顺流下行的实际速度是 . 这样汽船往返一次所需的总时间是
它总是大于汽船在静水中往返一次的时间 ,且河水流速愈大,二者的差距愈大.
由上式, 我们可以看到, 汽船在有流速的河中行驶的平均速度是
正是汽船在静水中航行的速度. 注意到
就说明调和平均值总小于等于算术平均值.
事实上,对此有一个一般性的结论: 对任意给定的两个正数 ,已知 为其算术平均值,并定义 为其调和平均值 (harmonic mean),就有
且等号当且仅当 时成立,即调和平均值必小于等于算术平均值.
历史上著名的迈克耳孙-莫雷实验(1887 年)正是利用上述原理而设计的. 过去人们认为光既然是一种波, 而波的传播是需要媒介的, 如声波的传播需要空气做媒介, 水波的传播需要水做媒介等，因此光的传播也需要有媒介．但光是能够在真空中传播的，因此人们想象整个宇宙空间(包括真空)中充满了一种作为光传播媒介的神秘物质——以太. 当地球以 的速度绕太阳运动时,必定会有强烈的“以太风”迎面吹来. 这样,和上面的例子一样, 光线迎 “以太风”传播一定距离再反射回来所花费的时间, 和光线垂直于 “以太风” 方向传播同样的距离再反射回来所花费的时间, 就应该是不相等的. 迈克耳孙 (A. Michelson)和莫雷(E. Morley)依此原理设计了一个实验, 证明了两束光所花费的时间并无不同, 从而说明地球相对以太是静止的, 或者以太根本就不存在. 随着爱因斯坦相对论的建立, 以太学说逐渐被学界所抛弃.
1907 年, 迈克耳孙因 “发明光学干涉仪并使用其进行光谱学和基本度量学研究”, 获得了诺贝尔物理学奖。作为迈克耳孙光学干涉仪的一个最著名的应用，迈克耳孙-莫雷实验解决了当年普遍困惑物理学界的问题, 而其基本思想竟是平均值不等式这一初等数学的知识!
内容提要
- 实数大小的比较:
.
- 等式的基本性质:
传递性 如果 ，且 ，那么 .
加法性质 如果 ,那么 .
乘法性质 如果 ,那么 .
- 不等式的基本性质:
传递性 如果 ,且 ,那么 .
加法性质 如果 ,那么 .
乘法性质 如果 ,那么 ; 如果 ,那么 .
- 不等式的常用性质:
如果 ,那么 .
如果 ,那么 .
如果 ,那么 .
如果 ,那么 ,其中 是正整数.
如果 ,其中 是正整数,那么 .
- 一元二次方程的根与系数关系:
设 的两根为 ,则 .
- 一元二次不等式的求解(下表中均假设 ，而 ):
| 有两不同实根 | 有两相同实根 | 无实根 | |
| 解集为 | 解集为 | 解集为 R | |
| 解集为 | 解集为 | 解集为 R | |
| 解集为 | 解集为 | 解集为 | |
| 解集为 | 解集为 | 解集为 |
- 基本不等式:
平均值不等式 ，当且仅当 时等号成立.
常用不等式 ，当且仅当 时等号成立.
三角不等式 ，当且仅当 时等号成立.
复习题
A 组
复习题A · 2
- 设 ,比较 与 的值的大小.
复习题A · 3
- 已知 ,求证: .
复习题A · 4
- 若关于 的不等式 的解集为 ,求实数 的值,并求不等式 的解集.
复习题A · 5
- 解下列一元二次不等式:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) .
复习题A · 6
- 试写出一个二次项系数为 1 的一元二次不等式, 使它的解集分别为:
(1) ； (2) .
复习题A · 7
- 求不等式 的所有正整数解.
复习题A · 8
- 解下列分式不等式:
(1) ； (2) .
复习题A · 9
- 设关于 的不等式 与 的解集分别为 , 试用集合运算表示下列不等式组的解集:
(1)
(2)
(3)
复习题A · 10
- 解下列含绝对值的不等式:
(1) ； (2) .
复习题A · 11
- 已知 是正数,求证: .
复习题A · 12
- 如图,在直角三角形 中, 垂直于斜边 ,且垂足为 . 设 及 的长度分别为 与 .
(1)求斜边上的高 与中线 的长;
(2)用不等式表示斜边上的高 与中线 长度的大小关系.
(第 12 题)
复习题A · 13
- 如图,已知直角梯形 的顶点 位于 轴上,顶点 落在函数 的图像上, 分别为线段 的中点, 为坐标原点, 为线段 与线段 的交点.
(1)求中点 的坐标，以及线段 、 的长度；
(2)用不等式表示 、 长度的大小关系.
(第 13 题)
B 组
复习题B · 1
- 已知一元二次方程 的两个实根分别为 、 ，且 . 求实数 的值.
复习题B · 2
- 已知一元二次方程 有两个同号实根,求实数 的取值范围.
复习题B · 3
- 设 ,已知关于 的不等式 的解集为 , 求不等式 的解集.
复习题B · 4
- 解下列不等式:
(1) ； (2) .
复习题B · 5
- 已知集合 ，且 . 求实数 的取值范围.
复习题B · 6
- 证明: 若 ,则 ,并指出等号成立的条件.
复习题B · 7
- 设 为正数,且 . 求 的最小值.
复习题B · 8
- 已知 都是正数,求证: .
复习题B · 9
- 设实数 满足 ,求 的最大值.
复习题B · 10
- 已知 为实数,求证: ,并指出等号成立的条件.
复习题B · 11
- 已知 是实数,
(1)求证: ，并指出等号成立的条件；
(2)求证:如果 ，那么 .
拓展与思考
拓展与思考 · 1
- 解下列不等式:
(1) ； (2) .
拓展与思考 · 2
- 已知集合 . 若 ,且 ,求实数 及 的值.
拓展与思考 · 3
- 已知实数 ,求证:
拓展与思考 · 4
- 方程 的三个根 1、2、3 将数轴划分为四个区间,即 . 试在这四个区间上分别考察 的解集. 符号,从而得出不等式 与 的解集.
一般地,对 ,且 ,试分别求不等式
的解集. (提示: 相互之间可能相等,需要分情况讨论)