例题 1
例 1 如图 5-3-1，一个边长为 、（）的长方形被分别平行于长与宽的两条直线所分割，试用解析法将图中阴影部分的总面积 表示为 的函数。
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 5.3
学生阅读版 / 沪教版高中数学
函数的应用.
必修第一册
第5章函数的概念、性质及应用 · 保留教材主线与原题
函数的应用
教材与正式教参整合
1 函数关系的建立
图 5-3-1
在研究某些数学问题时，所研究的变量往往依赖于另一个变量，此时就需要建立这两个变量之间的函数关系。
例题 2
例 2 如图 5-3-2，四边形 是平面直角坐标系中边长为 1 的正方形。一直线 （）与正方形 相交，将正方形分为两个部分，其中包含原点 的部分的面积记为 。试将 表示为 的函数。
例题 3
例 3 要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图 5-3-5 所示。如果已有材料可建成的围墙总长度为 ，那么当宽 （单位：m）为多少时，才能使所建造的居室总面积最大？居室的最大总面积是多少？
图 5-3-5
例题 4
例 4 某小区要建造一个直径为 的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心 的地方达到最高高度 。各方向喷来的水柱在池中心上方某一点汇合，求该点离水面的高度。
练习 5.3(1)
练习5.3(1) · 1
- 已知一等腰三角形的周长为 ，试将该三角形的腰长 （单位：cm）表示为底边长 （单位：cm）的函数。
练习5.3(1) · 2
- 如图，在平面直角坐标系的第一象限内， 是边长为 2 的等边三角形。用直线 （）截这个三角形，记截得的靠近 轴的部分的面积为 。试将 表示为 的函数。
(第 2 题)
练习5.3(1) · 3
- 某商场购物优惠活动如下：一次购物总额不超过 500 元的不予优惠；一次购物总额超过 500 元但不超过 1000 元的，按标价给予 9 折优惠；一次购物总额超过 1000 元的，其中的 1000 元按上述标准给予优惠，而超过 1000 元的部分给予 7 折优惠。设某位顾客一次购物总额为 元，而优惠后实际付款额为 元。试写出 关于 的函数关系。
2 用函数观点求解方程与不等式
我们知道：一元一次方程总可以化简为 的形式，而一元二次方程总可以化简为 的形式。一般地，在求解含有一个未知数的方程时，经过适当地化简，总可以化为在一定的范围 内求解形如 的方程，这里 ， 是一个函数。
在学习了函数及其性质之后，我们可用函数的观点来考察方程 的求解。
定义 对于函数 ，如果存在实数 ，使得
函数 的零点，就是方程 在集合 中的解，也是该函数 的图像与 轴的交点的横坐标。这就将方程 的求解与求函数 的零点联系起来。
例题 5
例 5 方程 是否有整数解？说明理由。
例题 6
例 6 用函数的观点在区间 上解不等式 。
练习 5.3(2)
练习5.3(2) · 1
- 利用函数与不等式的关系，在 时，求解实系数一元二次不等式 。
练习5.3(2) · 2
- 用函数的观点解不等式：。
3 用二分法求函数的零点
在建立了函数关系后，常常会遇到一些解方程的问题。如果相应的函数是一次函数或者二次函数，就可以用已经学习过的求根公式来求解。但是遇到一些更复杂的函数，相应的方程如何求解呢？此时，要求得问题的精确解答，通常是做不到的，而基于实际问题的需要，往往只要求得具有足够精度的近似解就可以了。本课我们将利用上一节课的思想，将求方程的近似解的问题转化为求函数的近似零点的问题，再利用函数的性质来求得方程的近似解。
我们来看一个例子：在一块边长为 的正方形金属薄片的四个角上都剪去一个边长为 的小正方形，做成一个容积是 的无盖长方体盒子，如图 5-3-8 所示（图中单位：cm）。问： 是多少？（结果精确到 ）
图 5-3-8
根据要求，得 ，我们的目标就是求该方程在区间 上的实根。
令 。上述方程的实根就是函数 的零点，先用描点法作出该函数的大致图像如下：
图 5-3-9
从图像上可以看出，函数 在区间 和区间 上各有一个零点。
定理 如果在区间 上，函数 的图像是一段连续曲线，并且 ，那么 在区间 上一定有零点。
下面用二分法寻求该函数在区间 上的零点的近似值。
二分法的思想非常直接和简单：在确定了区间 上一定有零点的前提下，将区间一分为二，这两部分中总有一个含有零点，而含有零点的区间的长度变为原先的一半。反复执行这种"一分为二"的操作，就能将零点限制在一个足够小的区间中，从而容易求得其近似值了。
因为 ，所以此函数 在区间 上至少有一个有零点。
取 的中点 ，计算可得 。因为 ，所以 在区间 上一定有零点。
将这一步骤重复若干次，见表 5-3：
表 5-3 用二分法求函数零点的一个例子
| 步骤 | （左端点） | （中点） | （右端点） | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 3.5 | 4 | + | - | - |
| 2 | 3 | 3.25 | 3.5 | + | - | - |
| 3 | 3 | 3.125 | 3.25 | + | + | - |
| 4 | 3.125 | 3.1875 | 3.25 | + | - | - |
| 5 | 3.125 | 3.15625 | 3.1875 | + | + | - |
注意到区间 (3.15625, 3.1875) 中的所有数精确到 0.1 时的近似值都是 3.2，所以 在区间 上零点的近似值是 3.2。
按同样的操作方法，可以求得 在区间 上的零点近似值是 1.3。
综上所述，上述问题中所剪去的小正方形的边长约是 或 。
可以看到，在二分法的实际操作中，从第二步起，每一步只需要计算一个函数值，并判断它的符号，同时，所考虑的区间长度减半。
我们学过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数以及必修课程第 7 章将要学习的三角函数等，在包含于定义域的任一区间上，图像都是连续的曲线。
二分法的这些步骤中，每一步都是明确的。尽管每一步的计算可能不一定简单，而且可能需要重复较多的步骤才能得到具有足够精度的零点近似值，但根据这一算法不断重复同一类计算的特点，可利用计算机强大的计算功能，通过编制计算机程序，很高效地求出零点的近似值。
有兴趣的同学可以设计一个二分法求函数零点的程序。
练习 5.3(3)
练习5.3(3) · 1
- 对于在区间 上的图像是一段连续曲线的函数 ，如果 ，那么是否该函数在区间 上一定无零点？说明理由。
练习5.3(3) · 2
- 已知函数 在区间 上有且仅有一个零点。试用二分法求出该零点的近似值。（结果精确到 0.1）
习题 5.3
A 组
习题5.3A · 1
- 某企业去年四个季度生产某种型号机器的数量 （单位：万台）与季度 的函数关系如下表所示：
| /季度 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| /万台 | 10 | 12 | 14 | 16 |
试写出该函数的定义域，并作出其大致图像。
习题5.3A · 2
- 某地区住宅电话费收取标准为：接通后 3 分钟内（含 3 分钟）收费 0.20 元，以后每分钟（不足 1 分钟按 1 分钟计）收费 0.10 元。如果一次通话时间为 （单位：min），写出通话费 （单位：元）关于通话时间 的函数关系。
习题5.3A · 3
- 求函数 的零点。
习题5.3A · 4
- 已知函数 在区间 上有且仅有一个零点，用二分法求该零点的近似值。（结果精确到 0.1）
B 组
习题5.3B · 1
- 已知某气垫船的最大船速是 48 海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比。当船速为 30 海里/时时，船每小时的燃料费用为 600 元，而其余费用（不论船速为多少）都是每小时 864 元。船从甲地行驶到乙地，甲乙两地相距 100 海里。
(1) 试把船每小时使用的燃料费用 （单位：元）表示成船速 （单位：海里/时）的函数；
(2) 试把船从甲地到乙地所需的总费用 （单位：元）表示成船速 （单位：海里/时）的函数；
(3) 当船速为多少时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？
习题5.3B · 2
- 为分流短途乘客，减缓轨道交通高峰压力，某地地铁实行新的计费标准，其分段计费规则如下：0 至 （含 ）票价 3 元；6 至 （含 ）票价 4 元； 以上每 6 km（不足 时按 6 km 计）票价递增 1 元，但总票价不超过 8 元。
(1) 试作出票价 （单位：元）关于路程 （单位：km）的函数的大致图像；
(2) 某人买了 5 元的车票，他乘车的路程不能超过多少？
习题5.3B · 3
- 某物流公司在上海及杭州的仓库分别有某机器 12 台和 6 台，现决定销售给 市 10 台、 市 8 台。已知上海调运一台机器到 、 市的运费分别为 400 元和 800 元；杭州调运一台机器到 、 市的运费分别为 300 元和 500 元。设从上海调运 台机器往 市，求总运费 （单位：元）关于 （单位：台）的函数关系。
习题5.3B · 4
- 证明：方程 没有整数解。
习题5.3B · 5
- 解不等式：。