例题 1
例 1 证明：函数 是一个偶函数。
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 5.2
学生阅读版 / 沪教版高中数学
函数的基本性质.
必修第一册
第5章函数的概念、性质及应用 · 保留教材主线与原题
函数的基本性质
教材与正式教参整合
函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具。了解了函数，就把握了相应事物的变化规律。为了深入了解函数，有必要研究其有关的性质，因此，学习函数的性质非常重要。
函数的性质是多种多样的，且不同的函数有不同的性质。
关于一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数，我们已经接触过很多研究其性质的方法，且已经知道了不少结论。本节将以此为出发点，概括函数的一些常见的性质。
1 函数的奇偶性
在生活中，我们经常遇到对称的图形。拱桥的桥面形成的弧，就可以视为是轴对称的。如果把桥面抽象成一条曲线，以曲线的最高点为原点，过原点作一水平直线为 轴，再过原点作一竖直直线为 轴，那么这条由拱桥桥面抽象出的曲线就成为一个函数的图像，并且该图像的一个特点是关于 轴成轴对称，如图 5-2-1 所示。
图 5-2-1
在学习二次函数和幂函数时，我们知道，形如 的二次函数和幂函数 的图像都是关于 轴成轴对称的，如图 5-2-2 所示。
图 5-2-2
图 5-2-2 中的这两个函数的图像都具有关于 轴成轴对称的共同特征，其相应的自变量与函数值的对应关系是如何体现这个特征的？
一个图形关于某条直线 成轴对称，是指该图形上的任意一点关于直线 的对称点也在此图形上。
现在，我们来探究"函数的图像关于 轴成轴对称"这一条件的等价表达形式。
在函数 的图像 上任取一点 ，就有
图 5-2-3
点 关于 轴的对称点为 （图 5-2-3）。如果函数 的图像关于 轴成轴对称，那么 也在图像 上，即
这说明，如果函数 的图像关于 轴成轴对称，那么对于任意给定的 ，均有
反之，如果对于任意给定的 ，均有 ，并且 ，那么对于函数 的图像上的任一点 ，它关于 轴的对称点 ，由于满足 ，并且 ，也必在此函数的图像上。因此，该函数的图像关于 轴成轴对称。
总结一下，就得到下述关于偶函数的定义：
定义 对于函数 ，如果对于其定义域 中任意给定的实数 ，都有 ，并且
就称函数 为偶函数（even function）。
根据上述推导及定义，从图形的角度来看，偶函数就是其图像关于 轴成轴对称的函数。
根据上述性质，如果要得到偶函数 的图像，只需要获得其在定义域中 （或 ）部分的图像就可以了。同理，如果要研究偶函数的性质，也只要研究其在定义域中 （或 ）部分的性质就可以了。
例题 2
例 2 证明： 是一个奇函数。
例题 3
例 3 是否存在定义在 上的，且既是奇函数又是偶函数的函数？若存在，求出所有满足此条件的函数；若不存在，说明理由。
练习 5.2(1)
练习5.2(1) · 1
- 奇函数的图像是不是一定通过原点？偶函数的图像是不是一定与 轴相交？请说明理由。
练习5.2(1) · 2
- 如图，已知偶函数 在 轴及 轴一侧的部分图像，作出 的大致图像。
(第 2 题)
练习5.2(1) · 3
- 证明下列函数是奇函数：
(1) ；(2) 。
在判断一个比较复杂的函数的奇偶性的时候，往往采取"先猜后证"的方法。
例题 4
例 4 判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1) ；
(2)
例题 5
例 5 是否存在正数 ，使函数 是偶函数？
例题 6
例 6 已知函数 ，且当 时，
(1) 若函数 是偶函数，求 ；
(2) 是否可能是奇函数？若可能，求 的表达式；若不可能，说明理由。
练习 5.2(2)
练习5.2(2) · 1
- 判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) 。
练习5.2(2) · 2
- 已知 是实数，而定义在 上的函数 的表达式为 。
(1) 是否存在实数 ，使得 是奇函数？说明理由；
(2) 是否存在实数 ，使得 是偶函数？说明理由。
2 函数的单调性
在现实生活中，有不少在一定范围内随着时间的增加而增加（或减少）的量，如自由落体运动的位移 就是如此。作出位移 关于时间 的函数图像，如图 5-2-4 所示。从图像上看，随着时间的增大，位移的确随之增大。这就是一种单调现象。此外，通过一个电阻的电流随其两端电压的增大而增大；许多物质在水中的溶解度随温度的升高而增加；山区的气温随海拔高度的升高而降低等，都是单调现象。
图 5-2-4
在学习指数函数及对数函数时，我们已经了解到如下的事实：
当 时，函数 与函数 的图像都表现出" 随 的增大而增大"的趋势；而当 时，函数 与函数 的图像却都表现出" 随 的增大而减小"的趋势。
借助指数和对数运算的性质，必修课程第 4 章中已经证明了，若 ，当 时， 及 ；而当 时， 及 。这样，我们就解释了为何这些函数的图像会表现出相应的单调性趋势。概括起来，可对一般函数给出其单调性的定义。
定义 对于定义在 上的函数 ，设区间 是 的一个子集。对于区间 上的任意给定的两个自变量的值 、，当 时，如果总有
就称函数 在区间 上是增函数（increasing function）；而如果总有
就称函数 在区间 上是减函数（decreasing function）。
特别地，如果总有
就称函数 在区间 上是严格增函数（strictly increasing function）；而如果总有
就称函数 在区间 上是严格减函数（strictly decreasing function）。
例如， 在区间 上是严格增函数； 在区间 上是严格减函数，在区间 上是严格增函数； 在区间 上是严格增函数；等等。
根据已经学习过的实数幂的性质，对于幂函数 ，当 时，该函数在区间 上是严格增函数；而当 时，该函数在区间 上是严格减函数。
根据指数及对数的运算性质，当 时， 在区间 上是严格增函数， 在区间 上是严格增函数；而当 时， 在区间 上是严格减函数， 在区间 上是严格减函数。
根据定义，严格增函数是增函数，严格减函数是减函数。
你能用定义证明初中学过的一次函数和反比例函数的单调性吗？
例题 7
例 7 证明：函数 在区间 上是严格减函数。
例题 8
例 8 判断函数 在其定义域上的单调性，并说明理由。
练习 5.2(3)
练习5.2(3) · 1
- 小明说："如果当 时，总有 ，那么函数 在区间 上是严格增函数。"他的说法是否正确？说明理由。
练习5.2(3) · 2
- 证明：函数 在区间 上是严格减函数。
练习5.2(3) · 3
- 构造一个二次函数，使得它在区间 上是严格减函数，并说明理由。
需要注意的是，函数的单调性是针对包含于定义域中的某个区间而言的。有些函数虽然在整个定义域上不是单调函数，但是在包含于定义域中的某些区间上却可以是单调函数。
一般来说，所讨论的单调区间总是指满足这一要求的"最大"的单调区间。
定义 如果函数 在某个区间 上是增（减）函数，那么就称函数 在区间 上是单调函数（monotonic function），并称区间 是函数 的一个单调区间。
例题 9
例 9 判断函数 的单调性，并求出它的单调区间。
你能用上一节课学习的一般二次函数的单调性结论来求这个函数的单调区间吗？
例题 10
例 10 设 是偶函数，且它在区间 上是严格减函数，判断它在区间 上的单调性，并说明理由。
练习 5.2(4)
练习5.2(4) · 1
- 根据下列函数 的图像（包括端点），分别指出这两个函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数的单调性。
(第 1 题)
练习5.2(4) · 2
- 判断函数 的单调性，并求出其单调区间。
练习5.2(4) · 3
- 设 是奇函数，且它在区间 上是严格增函数。
(1) 求证：它在区间 上是严格增函数；
(2) 是否在区间 上是严格增函数？说明理由。
3 函数的最值
在必修课程第 2 章中，我们已经利用不等式的性质及基本不等式求解了一些代数式的最大值和最小值。对于只有一个未知数的代数式，如 等，当 的值改变时，相应代数式的值也随之改变，从而都可以将它们看成是自变量 的函数。函数值的大小变化趋势是函数的单调性研究所关心的内容。而在生产和生活中，除了函数值的大小变化趋势之外，往往也关心函数何时取到最大值（最小值），以及最大值（最小值）为多少等问题。
定义 函数 在 处的函数值是 ，对于定义域内任意给定的 ，如果
例题 11
例 11 求函数 的最大值与最小值。
例题 12
例 12 求函数 的最大值与最小值。
例题 13
例 13 已知 ，求函数 的最大值。
练习 5.2(5)
练习5.2(5) · 1
- 求函数 的最大值与最小值。
练习5.2(5) · 2
- 求下列函数的最大值与最小值：
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) 。
练习5.2(5) · 3
- 已知 ，求函数 的最大值。
习题 5.2
A 组
习题5.2A · 1
- 若函数 的定义域为 ，则 为奇函数的充要条件为（）
A. ；
B. 对任意 都成立；
C. 存在某个 ，使得 ；
D. 对任意给定的 都成立。
习题5.2A · 2
- 证明下列函数 为偶函数：
(1) ；(2) 。
习题5.2A · 3
- 证明下列函数 为奇函数：
(1) ；
(2) 。
习题5.2A · 4
- 判断下列函数 的奇偶性，并说明理由：
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) ；
(5) 。
习题5.2A · 5
- 证明：函数 是严格增函数。
习题5.2A · 6
- 证明：函数 在其定义域上是严格减函数。
习题5.2A · 7
- 求下列函数的最大值与最小值，并写出取最值时相应自变量的值：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) 。
习题5.2A · 8
- 求函数 的最大值与最小值。
习题5.2A · 9
- 已知 和 都是定义在 上的函数，且在 处同时取到相同的最小值。求 的最大值。
B 组
习题5.2B · 1
- 已知实数 ，而函数 是偶函数。求实数 、 的值。
习题5.2B · 2
- 判断下列函数 的奇偶性，并说明理由：
(1) ；(2) 。
习题5.2B · 3
- 当表达式 ___时，函数 同时满足以下条件：
① 不是偶函数；
② 在区间 上是严格减函数；
③ 在区间 上是严格增函数。
习题5.2B · 4
- 作出函数 的大致图像，并分别写出它的定义域、奇偶性、单调区间及最小值。
习题5.2B · 5
- 研究函数 的定义域、奇偶性、单调性及最大值。
习题5.2B · 6
- 如果函数 在区间 上是严格减函数，那么实数 的取值范围为___。
习题5.2B · 7
- 设 是实数，且 。求函数 的最小值。