例题 1
例 1 求下列函数的定义域:
(1) ;
(2) ；
(3) .
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 4.1
学生阅读版 / 沪教版高中数学
幂函数.
必修第一册
第4章幂函数、指数函数与对数函数 · 保留教材主线与原题
幂函数
教材与正式教参整合
幂函数、 指数函数与对数函数
初中已经学过一些基本的初等函数, 如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等. 函数是描述客观世界中变量之间相互关系和变化规律的重要语言和工具. 例如, 一次函数可描述匀速运动，二次函数可描述匀加速运动等.
本章我们将在上一章的基础上, 通过固定等式 中的三个量 中的一个量, 研究另两个量的相互关系和变化规律, 定义三种基本而应用广泛的函数——幂函数、指数函数和对数函数. 要学会用函数图像和代数运算的方法研究这些函数的性质, 了解它们各自蕴含的规律. 同时，要通过建立数学模型，解决一些简单的实际问题，并体会这些函数在解决有关实际问题中的作用. 这些都将为下一章"函数的概念、性质及应用"的学习奠定基础.
1 幂函数的定义与图像
在初中阶段我们已经学过正比例函数如 ,反比例函数如 即 ,以及二次函数如 等函数的图像与性质.
这三个函数的共同特征都是将幂的指数 固定,底数取为变量 ,而研究幂 随 的变化而变化的规律. 用
来描述 与 之间的关系就得到了幂函数.
定义 当指数 固定,等式
例题 2
例 2 分别作出幂函数 及 的大致图像.
| 0 | 0 |
| 0.25 | 0.5 |
| 0.5 | 0.7071 |
| 1 | 1 |
| 2 | 1.4142 |
| 4 | 2 |
| 6 | 2.4495 |
| 9 | 3 |
例题 3
例 3 作出幂函数 的大致图像.
练习4.1(1)
练习4.1(1) · 1
- 若幂函数 的图像经过点 ,求此幂函数的表达式.
练习4.1(1) · 2
- 求下列函数的定义域, 并作出它们的大致图像:
(1) ；
(2) ；
(3) .
练习4.1(1) · 3
- 若幂函数 ( 为整数) 的定义域为 ,求 的值.
2 幂函数的性质
由前述,不管指数 取何值,当 时,幂函数 总是有定义的,且其函数值 . 这说明,幂函数 在第一象限总有图像,其图像随指数 取值的不同,可分为两种情况.
(1) 的情况. 此时观察幂函数 在第一象限的图像,不难发现,当指数 时,相应的图像类似图 4-1-5 中 的图像; 当指数 时,相应的图像类似图 4-1-5 中 的图像; 而当 时,幂函数 的图像是一条经过原点的直线.
当 时,幂函数 的图像是平行于 轴、 并在 轴上方一个单位的一条直线(除去点 (0,1)).
当 时,幂函数 的图像是经过原点的一条直线.
图 4-1-5
观察图 4-1-5 所示的幂函数 在第一象限的图像,可发现图像由左至右是上升的,也就是说,随着自变量 的不断增大,函数值 也不断增大. 这是因为当 时,若 ,则 ,从而由幂的基本不等式,得
即 . 这说明在区间 上幂函数 的函数值 随着 的 (严格) 增大而 (严格) 增大. 此时称幂函数 在区间 上是严格增函数.
(2) 的情况. 此时幂函数 在第一象限的图像类似图 4-1-5 中 的图像. 该图像由左至右是下降的,也就是说,在区间 上幂函数 的函数值 随着 的 (严格) 增大而 (严格) 减小. 此时称幂函数 在区间 上是严格减函数.
因为 ,所以无论 还是 ,幂函数的图像均经过点 .
例题 4
例 4 比较下列各题中两个数的大小:
(1) 与 ；
(2) 与 .
例题 5
例 5 已知函数 和 ,说明这两个函数图像之间的关系, 并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像.
例题 6
例 6 已知函数 和 ,说明这两个函数图像之间的关系, 并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像.
练习4.1(2)
练习4.1(2) · 1
- ( 1 )已知函数 和 ，说明这两个函数图像之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像;
(2)已知函数 和 ，说明这两个函数图像之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像.
练习4.1(2) · 2
- 比较下列各题中两个数的大小:
(1) 与 ； (2) 与 .
练习4.1(2) · 3
- 作出函数 的大致图像.
习题 4.1
A 组
习题4.1A · 1
- 若幂函数 的图像经过点 ,求此幂函数的表达式.
习题4.1A · 2
- 求下列函数的定义域, 并作出它们的大致图像:
(1) ； (2) ； (3) .
习题4.1A · 3
- 在固定压力差 (压力差为常数) 的前提下,当气体通过圆形管道时,其速率 (单位: 与管道半径 (单位: ) 的四次方成正比. 若在半径为 的管道中,某气体的速率为 ,求该气体通过半径为 的管道时的速率. (结果精确到 )
习题4.1A · 4
- 比较下列各题中两个数的大小:
(1) 与 ； (2) 与 .
习题4.1A · 5
- 下列幂函数在区间 上是严格增函数,且图像关于原点成中心对称的是 ___(请填入全部正确的序号).
① ； ② ； ③ ； ④ .
习题4.1A · 6
- 作出函数 的大致图像.
B 组
习题4.1B · 1
- 填空题:
(1)幂函数 ( 为正整数)的图像一定经过___象限.
(2)若幂函数 在 时的图像位于直线 的上方,则 的取值范围是___.
习题4.1B · 2
- 下列命题中, 正确的是 ( )
A. 当 时,函数 的图像是一条直线;
B. 幂函数 的图像都经过 和 两个点;
C. 若幂函数 的图像关于原点成中心对称,则 在区间 上是严格增函数;
D. 幂函数的图像不可能在第四象限.
习题4.1B · 3
- 写出一个图像经过第一、第二象限但不经过原点的幂函数的表达式.
习题4.1B · 4
- 已知函数 (常数 ). 问: 是否存在整数 ,使该函数在区间 上是严格减函数，并且函数值不恒为负？若存在，求出所有符合条件的 ；若不存在，请说明理由.