例题 1
例 1 设 是实数，判断下列命题的真假，并说明理由:
(1)如果 ,且 ,那么 ;
(2)如果 ，且 ，那么 ；
(3)如果 ，那么 ；
(4)如果 ，那么 ，其中 是正整数；
(5)如果 ，那么 ；
(6)如果 ，那么 .
SHANGHAI MATHEMATICS · SECTION 2.1
学生阅读版 / 沪教版高中数学
等式与不等式的性质.
必修第一册
第2章等式与不等式 · 保留教材主线与原题
等式与不等式的性质
教材与正式教参整合
等式 与不等式
数量关系是数学重要的研究对象, 相等关系与不等关系是最基本的数量关系, 而等式与不等式则是表示相应数量关系的基本工具. 等式与不等式的知识, 在日常生活中也有着广泛的应用。
我们将通过类比方法, 学习有关等式与不等式的性质, 并借助集合和逻辑的语言, 求解和证明一些基本的不等式. 求解不等式通常有两种方法，一种是代数方法，另一种是用函数观点求解. 在本章中，我们采用代数方法求解不等式, 而用函数观点求解将在后续章节加以学习. 在学习过程中, 要注意等式与不等式之间的共性和差异, 掌握等价变形的方法, 并特别注意不等式取到等号的条件.
1 等式的性质与方程的解集
数量关系是数学中重要的研究对象, 相等关系与不等关系是最基本的数量关系. 现实世界中存在着大量的相等和不等关系. 例如,圆的周长 与其直径 的比值等于一个常数 ,直角三角形的斜边长大于直角边长等.
等式具有以下性质:
( 1 )传递性 设 均为实数，
如果 ,且 ,那么 .
(2)加法性质 设 均为实数，
如果 ,那么 .
(3)乘法性质 设 均为实数，
如果 ,那么 .
当一个等式成立时，由上面的性质，在等式两边减去同一个数, 或除以同一个不等于零的数, 该等式仍然成立.
例题 2
例 2 设 ,求关于 的方程 的解集.
例题 3
例 3 设 ,求关于 与 的二元一次方程组 的解集.
练习 2.1(1)
练习2.1(1) · 1
- 设 是实数,判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)若 ，则 ；
(2)若 ，则 ；
(3)若 ，则 或 ；
(4)若 ,且 ，则 .
练习2.1(1) · 2
- 设 ,求关于 的方程 的解集.
练习2.1(1) · 3
- 设 ,求关于 与 的二元一次方程组 的解集.
一元二次方程的解集 及根与系数的关系
在初中已经学过如何求一元二次方程 的根,下面让我们来表示其相应的解集.
例题 4
例 4 求一元二次方程 的解集.
例题 5
例 5 证明: 是等式
恒成立的充要条件.
例题 6
例 6 已知方程 的两个根为 ,求下列各式的值:
(1) ; (2) .
练习 2.1(2)
练习2.1(2) · 1
- 求一元二次方程 的解集.
练习2.1(2) · 2
- 已知方程 的两个根为 ,求下列各式的值:
(1) ；
(2) ；
(3) ； (4) .
3 不等式的性质
两个实数之间不仅可以有相等关系,还可以有大小关系.
对于两个实数 ,如果 是正数,就称 大于 ,记为 ; 如果 是负数,就称 小于 ,记为 ; 如果 是零,就称 等于 ,记为 . 这就是说
这是研究一切不等式的基础.
显然,对于任意给定的两个实数 ,
根据实数的大小关系,对任何两个给定的实数 ,或者 ,或者 ,或者 ,三者中有且只有一种情况成立.
通常,符号 (读作 大于等于 )表示 或 ; 符号 (读作 小于等于 )表示 或 .
根据实数间的大小关系, 类比于等式性质, 我们可以得到不等式的基本性质.
(1)传递性 设 均为实数，
如果 ,且 ,那么 .
证明 因为 ,所以 .
同理,由 ,有 .
由于两个正数的和是正数, 于是
即 .
(2)加法性质 设 均为实数，
如果 ,那么 .
证明 因为 ,所以 .
于是有 , 即 . Q
(3)乘法性质 设 均为实数，
如果 ,且 ,那么 ;
如果 ,且 ,那么 .
证明 显然, .
因为 ,所以 .
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 .
例题 7
例 7 证明: 如果 ,那么 ; 反之亦然.
例题 8
例 8 已知 . 求证: .
例题 9
例 9 已知 . 求证: .
例题 10
例 10 ( 1 )已知 ，求证: ；
较大的数的倒数是否一定比较小的数的倒数小?
( 2 )已知 . 求证: .
练习 2.1(3)
练习2.1(3) · 1
- 设 为实数,判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)如果 ,那么 ;
(2)如果 ，那么 ；
(3)如果 且 ，那么 ；
(4)如果 ,那么 ;
(5)如果 ，那么 .
练习2.1(3) · 2
- 设 ,求证: 是 的充要条件.
例题 11
例 11 (1)已知 . 求证: ；
(2)已知 ，求证: ，其中 是正整数.
例题 12
例 12 已知 为正数， 为正整数. 求证:如果 ,那么 .
例题 13
例 13 设 是实数，比较 与 的值的大小.
练习 2.1(4)
练习2.1(4) · 1
- 设 是实数,判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)如果 ，那么 ；
(2)如果 ，那么 ；
(3)如果 ，那么 .
练习2.1(4) · 2
- 设 是实数,比较 与 的值的大小.
习题 2.1
A 组
习题2.1A · 1
- 设 ,求关于 的方程 的解集.
习题2.1A · 2
- 设 ,求关于 与 的二元一次方程组 的解集.
习题2.1A · 3
- 设 ,求一元二次方程 的解集.
习题2.1A · 4
- 已知等式 恒成立,求常数 的值.
习题2.1A · 5
- 已知一元二次方程 的两实根为 ,求证:
习题2.1A · 6
- 已知一元二次方程 的两个实根分别为 ,求作二次项系数是 1 , 且分别以下列数值为根的一元二次方程:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
习题2.1A · 7
- 设 为实数,判断下列命题的真假:
(1)若 ，则 ；
(2)若 ，则 ；
(3)若 ，则 ；
(4)若 ，则 ；
(5)若 ，则 ；
(6)若 ，则 .
习题2.1A · 8
- 选择题:
(1)如果 ，那么下列不等式中成立的是 ( )
A. ； B. ； C. ; D. .
(2)如果 ，那么下列不等式中成立的是 ( )
A. ; B. ;
C. ; D. .
(3)如果 ，那么下列不等式中成立的是 ( )
A. ; B. ； C. ; D. .
习题2.1A · 9
- 证明: “ 且 ” 是 “ 且 ” 的充要条件.
习题2.1A · 10
- 设 是实数,比较 与 的值的大小.
习题2.1A · 11
- 试比较下列各数的大小, 并说明理由:
(1) 与 ； (2) 与 .
习题2.1A · 12
- 设 为实数,比较 与 的值的大小.
习题2.1A · 13
- 已知 . 求证: .
习题2.1A · 14
- 已知 ,求证: .
习题2.1A · 15
- 已知 为任意给定的正数,求证: ,并指出等号成立的条件.
B 组
习题2.1B · 1
- 设 为实数，求关于 的方程 的解集.
习题2.1B · 2
- 设 为实数，求关于 的方程 的解集.
习题2.1B · 3
- 已知等式 恒成立,其中 为常数. 求 的值.
习题2.1B · 4
- 对一元二次方程 ,证明: 是该方程有两个异号实根的充要条件.
习题2.1B · 5
- 已知一元二次方程 的两个实根分别为 ,求作二次项系数是 1 , 且分别以下列数值为根的一元二次方程:
(1) ; (2) ；
(3) ； (4) .
习题2.1B · 6
- 已知一元二次方程 的两实根为 ，且 . 求实数 的值.
习题2.1B · 7
- 已知实数 满足 ,且 . 求证: 且 .
习题2.1B · 8
- 设 ,写出 “ 且 ” 用 表示的一个充要条件, 并证明.
习题2.1B · 9
- 原有酒精溶液 (单位: ),其中含有酒精 (单位: ),其酒精浓度为 . 为增加酒精浓度,在原溶液中加入酒精 (单位: ),新溶液的浓度变为 . 根据这一事实, 可提炼出如下关于不等式的命题: 若 ,则 . 试加以证明.