第1章 集合与逻辑

数学语言十分精确, 不容易产生歧义. 集合是现代数学语言的重要组成部分. 使用集合的语言, 可以准确、简洁地表示所要研究的对象, 更好地描述所研究的对象之间的关系.

数学作为很多其他学科的基础和工具, 其内涵及语言都是按照逻辑的方式来组织的. 根据正确的前提, 按照严格的逻辑推理, 总是能够得到正确的结论.

在数学语言的表达方面，有一些公认的特殊约定，努力学习并遵循这些约定，能够更好地在数学领域里与他人开展交流, 对进一步的学习和研究都非常有益.

康托(G. Cantor, 1845- 1918), 德国数学家, 集合论创始人.

我们经常需要把满足一定要求或具有一定特征的对象放在一起或归为一类. 例如:

(1)申辉中学高一(1)班的全体学生；

(2)所有不大于 100 的自然数；

(3)直线 上的所有点；

(4)不等式 的所有解;

(5)太阳系的所有行星.

如果 是集合 的元素，就记作 ，读作“ 属于 ”； 如果 不是集合 的元素，就记作 ，读作“ 不属于 ”. 例如,若 是由数 组成的集合,则 .

集合的元素是确定的. 也就是说, 给定一个集合, 一个对象在不在这个集合中就确定了. 例如, “我国的直辖市”组成一个集合, 北京、上海、天津、重庆在这个集合中, 而杭州、南京、深圳等城市不在这个集合中.

一些不确定的对象不能组成一个集合. 例如, “我们班里高个子的同学”不能组成一个集合. 因为“高个子”的标准不够明确、 具体, 所以 “我们班里高个子的同学” 是不确定的.

一个给定集合中的各个元素是互不相同的, 即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的.

如果两个集合 与 的组成元素完全相同,就称这两个集合相等,记作 .

除了用自然语言描述集合，我们还有一些其他方法用来表示集合.

考察以下四组集合:

(1)C 是申辉中学高一(1)班的全体学生组成的集合，D 是申辉中学全体学生组成的集合;

(2)C是一平面上所有矩形组成的集合，D 是该平面上所有平行四边形组成的集合;

(3) ；

(4) 是奇数 .

容易发现,在上述每组集合中,集合 中的每个元素都属于集合 . 两个集合之间的这种关系是十分常见的.

对任何集合 ,规定

图 1-1-3

我们常用文氏图 (Venn diagram) 来直观表示集合以及集合之间的关系. 图 1-1-3 是 的文氏图.

上述四组集合中的每组都有 . 但是,第 (1)(2)组与第 (3)(4)组是有区别的. 在第(1)(2)组中，集合 中有些元素不属于集合 ,即 不是 的子集; 而在第(3)(4)组中,集合 中的每个元素都属于集合 ,即 .

对于集合之间的包含关系, 我们有下列结论:

(1) ；

(2)若 且 ，则 ；

集合关系中的“若 且 ,则 ”与实数大小关系中“若 且 , 则 ” 类似.

(3)传递性:若 且 ，则 .

由此,对第 (3)(4) 组集合, 成立; 而对第 (1)(2) 组集合, 不成立. 为此,我们引入真子集的概念.

定义 对于两个集合 与 ,如果 ,且 中至少有一个元素不属于 (即 不是 的子集),那么称集合 是集合 的真子集 (proper subset),记作 (或 ),读作“ 真包含于 ”(或“ 真包含 ”).

对第(1)(2)组集合， 成立.

对于常用的数集，我们有如下的包含关系:

先看一个校园生活的例子. 申辉中学高一年级的学生报名参加数学建模社与理学社. 这样, 除该校高一年级的全体学生组成的集合 外,还有参加数学建模社的学生组成的集合 ,参加理学社的学生组成的集合 ,两个社都参加的学生组成的集合 ,两个社中至少参加一个的学生组成的集合 ,还有未参加数学建模社的学生组成的集合 ,等等.

可以看到,集合 等都是集合 的子集, 集合 是由集合 与 的公共元素组成的,集合 是由集合 与 的所有元素组成的,集合 是由集合 中去掉 中的元素后剩下的元素组成的.

当集合 确定时, 如何确定集合 呢?

本节我们要从已知的集合出发，通过“交”“并”“补”的运算得到新的集合.

首先, 我们可以对任意两个集合取公共元素, 从而得到一个新的集合.

可以用文氏图直观地反映 的几种不同情况,如图 1-1-4 所示.

图 1-1-4

图 1-1-4(1)表示集合 与 既有公共元素又都有非公共元素的情况,此时阴影部分 既是 的真子集又是 的真子集; 图 1-1-4(2) 表示集合 是 的子集的情况,此时 ; 图 1-1-4(3)表示集合 与 没有公共元素的情况, 此时 .

例 9 中, 表示二元一次方程组的所有解组成的集合. 它可以理解为两个一次函数 与 的图像的交点组成的集合.

对照图 1-1-5 的三种情况, 请各举一实例.

图 1-1-5(1)表示集合 与 既有公共元素又都有非公共元素的情况,此时 和 都是 的真子集; 图 1-1-5(2)表示集合 是 的子集的情况,此时 ; 图 1-1-5(3)表示集合 与 没有公共元素的情况.