# 幂、指数与对数 ![bo_d4slo93ef24c73be0qag_0_2_18_1652_1165_0.jpg](images/bo_d4slo93ef24c73be0qag_0_2_18_1652_1165_0.jpg) 关于幂我们并不陌生, 在初中时已经学过正整数指数幂及其基本的运算性质，并经历了将正整数指数幂推广到整数指数幂的过程. 本章通过定义分数指数幂，将指数从整数拓展到有理数，再引入无理数指数幂，最终将指数从有理数拓展到实数. 这为下一章用幂函数描述变量之间的相应关系作好准备. 本章还将学习对数这一个新的概念, 它是指数运算的逆运算. 16 世纪末，随着当时天文、航海及工程实践的迅速发展，大量多位数乘除及开方的计算困扰着那时的科学家和工程师. 在简化计算的迫切需求下, 对数这个概念得以诞生, 并在实际计算中得到广泛应用. 现在, 功能强大的现代计算器使多位数的乘除及开方计算变得非常方便, 对数用于简化计算的功能已经完成了其历史任务. 但是, 对数这个概念及对数函数的种种性质在现代数学和其他科学领域中的作用却有增无减, 一直占据着重要的位置. ## 3.1 幂与指数 ### 1 指数幂的拓展 在初中我们已经学过正整数指数幂的定义和运算性质. 如果 $a$ 是一个实数, $n$ 是一个正整数,那么称 $$ {a}^{n} = \underset{n\text{ 个 }a}{\underbrace{a \cdot a \cdot \cdots \cdot a}} $$ 为 $a$ 的 $n$ 次幂. 正整数指数幂满足如下的运算性质: 对任意给定的实数 $a\text{ 、 }b$ 及正整数 $s\text{ 、 }t$ ,有 (1) ${a}^{s}{a}^{t} = {a}^{s + t}$ ; (2) ${\left( {a}^{s}\right) }^{t} = {a}^{st}$ ； (3) ${\left( ab\right) }^{t} = {a}^{t}{b}^{t}$ . 为了定义整数指数幂，我们在保证上述幂的运算性质仍然成立的条件下定义 ${a}^{0}$ 及 ${a}^{-n}$ ( $n$ 为正整数). 假设性质 (1) 对所有的整数 $s\text{ 、 }t$ 均成立,则当 $s = 1, t = 0$ 时, 有 $$ a = {a}^{1 + 0} = {a}^{1} \cdot {a}^{0} = a \cdot {a}^{0}. $$ 所以,当 $a \neq 0$ 时, ${a}^{0} = 1$ . 当 $s = n, t = - n$ 时,有 $$ {a}^{n + \left( {-n}\right) } = {a}^{n} \cdot {a}^{-n} = {a}^{0} = 1. $$ 所以,当 $a \neq 0$ 时, ${a}^{-n} = \frac{1}{{a}^{n}}$ . 因此,当 $a \neq 0$ 时,可以定义 $$ \left\{ \begin{array}{l} {a}^{0} = 1, \\ {a}^{-n} = \frac{1}{{a}^{n}}. \end{array}\right. $$ 这样,可以证明对任意给定的非零实数 $a\text{ 、 }b$ 及整数 $s\text{ 、 }t$ ,上述幂的运算性质 (1) 至 (3) 仍然成立. 在定义了整数指数幂后, 就会问: 能否定义有理数指数幂呢? 答案是肯定的. 为此先拓展根式的概念. $a$ 的 $n$ 次方叫做 $a$ 的 $n$ 次幂,记作 ${a}^{n}$ . 称 $a$ 为幂的底数 (简称为底), $n$ 为幂的指数. > 同底数的幂相乘， 底数不变, 指数相加. $$ {a}^{0} = 1\left( {a \neq 0}\right) . $$ 一般地,如果 $n$ 为大于 1 的整数,且 ${x}^{n} = a$ ,那么 $x$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次方根. 当 $n$ 是奇数时,由于正数的 $n$ 次方是一个正数,负数的 $n$ 次方是一个负数,因此 $a$ 的 $n$ 次方根是唯一存在的,且可用 $\sqrt[n]{a}$ 表示. 例如,因为 ${2}^{5} = {32}$ ,所以 $\sqrt[5]{32} = 2$ ; 因为 ${\left( -2\right) }^{5} = - {32}$ ,所以 $\sqrt[5]{-{32}} = - 2.$ 但当 $n$ 是偶数时,由于互为相反数的两个数的 $n$ 次方是同一个数,因此一个正数的 $n$ 次方根有两个,它们互为相反数. 这时,正数 $a$ 的正的 $n$ 次方根用 $\sqrt[n]{a}$ 表示,而负的 $n$ 次方根用 $- \sqrt[n]{a}$ 表示,它们可以合并简写成 $\pm \sqrt[n]{a}\left( {a > 0}\right)$ . 例如,16 的 4 次方根可以表示为 $\sqrt[4]{16} = 2$ 及 $- \sqrt[4]{16} = - 2$ ,简记为 $\pm \sqrt[4]{16} = \pm 2$ . 显然, 负数没有偶数次方根. 0 的任何次方根都是 0,记作 $\sqrt[n]{0} = 0$ . 式子 $\sqrt[n]{a}$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次根式,这里 $n$ 叫做根指数, $a$ 叫做被开方数. **例 1** ( 1 )求 $- \frac{1}{32}$ 的 5 次方根； ( 2 )求 81 的 4 次方根. 解(1)因为 ${\left( -\frac{1}{2}\right) }^{5} = - \frac{1}{32}$ ，所以 $\sqrt[5]{-\frac{1}{32}} = - \frac{1}{2}$ . (2)因为 ${\left( \pm 3\right) }^{4} = {81}$ ，所以 $\pm \sqrt[4]{81} = \pm 3$ . **例 2** 求下列各根式的值: (1) $\sqrt[5]{{\left( -2\right) }^{5}}$ ； (2) $\sqrt[6]{{\left( -8\right) }^{2}}$ . > 当 $n$ 为奇数时, $\sqrt[n]{{a}^{n}} = a$ > > 当 $n$ 为偶数时, $\sqrt[n]{{a}^{n}} = \left| a\right| .$ 解(1) $\sqrt[5]{{\left( -2\right) }^{5}} = - 2$ . (2) $\sqrt[6]{{\left( -8\right) }^{2}} = \sqrt[6]{{8}^{2}} = \sqrt[6]{{2}^{6}} = 2$ . #### 练习 3.1(1) 1. 求 $- \frac{32}{243}$ 的 5 次方根. 2. 求 9 的 4 次方根. 3. 求下列各根式的值: (1) $\sqrt[5]{{\left( -4\right) }^{5}}$ ； (2) $\sqrt[6]{{\left( a - b\right) }^{6}}$ (其中 $a < b$ ). 为了定义有理数指数幂, 我们首先定义正数的有理数指数幂, 使得整数指数幂的三条运算性质对有理数指数幂仍然成立. 设 $a > 0, s$ 为有理数,我们定义 ${a}^{s}$ . 当 $s = \frac{1}{n}$ ,而 $n$ 是正整数时,若 $n = 1$ ,则 ${a}^{\frac{1}{n}} = a$ ,这种情况比较特殊,无需定义; 若 $n$ 大于 1,则定义 ${a}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ ,即为 $a$ 的 $n$ 次根式,它是方程 ${x}^{n} = a$ 的唯一正数解. 当 $s = \frac{m}{n}$ ,而 $m$ 是一个整数, $n$ 是一个大于 1 的整数时, 定义 $$ {a}^{\frac{m}{n}} = {\left( {a}^{m}\right) }^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{{a}^{m}}. $$ 可以证明,当 $\frac{m}{n} = \frac{{m}^{\prime }}{{n}^{\prime }}$ 且 ${m}^{\prime }$ 为整数及 ${n}^{\prime }$ 为大于 1 的整数时,总成立 ${a}^{\frac{m}{n}} = {a}^{\frac{{m}^{\prime }}{{n}^{\prime }}}$ . 当 $s$ 为有理数时,它总可表示为两个互素整数的商 $\frac{m}{n}$ ,其中 $m$ 是整数,而 $n$ 是正整数,可定义 ${a}^{s} = {a}^{\frac{m}{n}}$ . 根据 $\frac{1}{n}$ 次幂的定义,有 ${\left( {a}^{\frac{1}{n}}\right) }^{n} = a$ . 再由分数指数幂的定义与整数指数幂的运算性质 (2), 有 $$ {\left( {a}^{\frac{1}{n}}\right) }^{m} = {\left( {a}^{\frac{1}{n}}\right) }^{\frac{nm}{n}} = {\left\lbrack {\left( {a}^{\frac{1}{n}}\right) }^{nm}\right\rbrack }^{\frac{1}{n}} = {\left\lbrack {\left( {\left( {a}^{\frac{1}{n}}\right) }^{n}\right) }^{m}\right\rbrack }^{\frac{1}{n}} = {\left( {a}^{m}\right) }^{\frac{1}{n}}. $$ 因此,也可以把 ${a}^{\frac{m}{n}}$ 等价地定义为 $$ {a}^{\frac{m}{n}} = {\left( {a}^{\frac{1}{n}}\right) }^{m} = {\left( \sqrt[n]{a}\right) }^{m}. $$ 利用整数指数幂的运算性质(1)至(3)，可以证明这三条性质对有理数指数幂仍然成立. 我们也可以证明以下的幂的基本不等式: 当实数 $a > 1$ ,有理数 $s > 0$ 时,不等式 ${a}^{s} > 1$ 成立. **例 3** 求下列各式的值: (1) ${4}^{\frac{3}{2}}$ ； (2) ${\left( \frac{81}{625}\right) }^{-\frac{3}{4}}$ . 解 反复利用有理数指数幂的运算性质, 可得 (1) ${4}^{\frac{3}{2}} = {\left( {2}^{2}\right) }^{\frac{3}{2}} = {2}^{3} = 8$ . (2) ${\left( \frac{81}{625}\right) }^{-\frac{3}{4}} = {\left( \frac{625}{81}\right) }^{\frac{3}{4}} = {\left\lbrack {\left( \frac{625}{81}\right) }^{\frac{1}{4}}\right\rbrack }^{3} = {\left( \frac{5}{3}\right) }^{3} = \frac{125}{27}$ . **例 4** 用有理数指数幂的形式表示下列各式(其中 $a > 0$ ): (1) $\sqrt[3]{{a}^{2}}$ ； > ${a}^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\left( {a > 0, n}\right)$ 为大于 1 的整数). > > 当 $a < 0$ 且 $n$ 是正奇数时, 存在唯一的实数 $x$ ,使得 > > ${x}^{n} = a < 0,$ > > 此时 ${a}^{\frac{1}{n}}$ 能被定义. > > 当 $a < 0$ 且 $n$ 是正偶数时, 因为不存在实数 $x$ ,使得 > > ${x}^{n} = a < 0,$ > > 故不能定义 ${a}^{\frac{1}{n}}$ . > > 当 $a = 0$ 且 $n$ 是正整数时, 也可定义 ${0}^{\frac{1}{n}} = 0.$ > > 一般地,在 $n$ 为大于 1 的整数,且 $m$ 为整数时,对所有使得 $\sqrt[n]{{a}^{m}}$ 有意义的实数 $a$ ,都可定义 > > ${a}^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{{a}^{m}}.$ (2) ${a}^{3} \cdot \sqrt[4]{{a}^{3}}$ ； (3) $\sqrt{a\sqrt{a}}$ . 解 由有理数指数幂的定义和运算性质, 可得 (1) $\sqrt[3]{{a}^{2}} = {a}^{\frac{2}{3}}$ . (2) ${a}^{3} \cdot \sqrt[4]{{a}^{3}} = {a}^{3} \cdot {a}^{\frac{3}{4}} = {a}^{3 + \frac{3}{4}} = {a}^{\frac{15}{4}}$ . (3) $\sqrt{a\sqrt{a}} = {\left( a \cdot {a}^{\frac{1}{2}}\right) }^{\frac{1}{2}} = {\left( {a}^{\frac{3}{2}}\right) }^{\frac{1}{2}} = {a}^{\frac{3}{4}}$ . 下面我们考虑正数的无理数指数幂, 在上述对正数的有理数指数幂定义的基础上,可以证明: 对任意一个正数 $a$ 与任意一个无理数 $s$ ,可确定一个唯一的实数,记作 ${a}^{s}$ ,使得上述有理数指数幂的三条运算性质与幂的基本不等式对所有的实数 ${a}^{s}$ 都成立. 我们把这个实数 ${a}^{s}$ 定义为 $a$ 的 $s$ 次幂. 这样,当指数幂从正整数拓展到实数时,我们要求底 $a$ 是一个正数. 此时指数幂满足以下的运算性质与幂的基本不等式. **性质** 对任意给定的正数 $a$ 、 $b$ 及实数 $s$ 、 $t$ ，有 $$ {a}^{s}{a}^{t} = {a}^{s + t}, $$ $$ {\left( {a}^{s}\right) }^{t} = {a}^{st}, $$ $$ {\left( ab\right) }^{t} = {a}^{t}{b}^{t}. $$ **定理** 当 $a > 1, s > 0$ 时， ${a}^{s} > 1$ . **例 5** 化简下列各式: (1) ${\left( {x}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) }^{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{x}$ (其中 $x > 0$ )； (2) $\frac{\left( {{a}^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}}\right) \left( {-3{a}^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{3}}}\right) }{\frac{1}{3}{a}^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{5}{6}}}$ (其中 $a > 0, b > 0$ ). 解(1)反复应用上述运算性质，可得 $$ {\left( {x}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) }^{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{x} = {x}^{\frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3}} \cdot {x}^{\frac{1}{2}} = {x}^{\frac{3}{2}} \cdot {x}^{\frac{1}{2}} = {x}^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = {x}^{2}. $$ (2)由有理数指数幂的运算性质, 可得 $\frac{\left( {{a}^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}}\right) \left( {-3{a}^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{3}}}\right) }{\frac{1}{3}{a}^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{5}{6}}} = \left( {-3 \times 3}\right) {a}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}}{b}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{5}{6}} = - {9a}{b}^{0} = - {9a}.$ > 这个证明要用到无理数由有理数逼近的性质, 相当繁复, 此处略去不讲. > > 此定理常称为幂的基本不等式, 在后面学习中还会用到. #### 练习 3.1(2) 1. 求下列各式的值: (1)100 ${}^{\frac{1}{2}}$ ； (2) ${8}^{-\frac{2}{3}}$ . 2. 用有理数指数幂的形式表示下列各式(其中 $a > 0$ ): (1) ${a}^{\frac{10}{3}} \cdot \sqrt[5]{{a}^{3}}$ ； (2) $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}$ . 3. 化简下列各式: (1) ${\left( {a}^{3 + \sqrt{3}}\right) }^{3 - \sqrt{3}}$ (其中 $a > 0$ )； (2) $\frac{4{a}^{\frac{2}{3}}{b}^{2}}{\left( {{a}^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{5}{6}}}\right) \left( {-\frac{2}{3}{a}^{\frac{1}{2}}b}\right) }$ (其中 $a > 0, b > 0$ ). 4. 已知 $0 < a < 1, s > 0$ . 求证: $0 < {a}^{s} < 1$ . ### 习题 3.1 #### A 组 1.(1)求一64的立方根； (2)求 256 的 4 次方根. 2. 求下列各根式的值: (1) $\sqrt[5]{\frac{243}{32}}$ ； (2) $- \sqrt[3]{0.125}$ ； (3) $\sqrt[7]{{\left( -2\right) }^{7}}$ ； (4) $\sqrt[6]{{\left( -{27}\right) }^{2}}$ . 3. 用有理数指数幂的形式表示下列各式(其中 $x > 0, y > 0$ ): (1) $\sqrt[3]{{x}^{5}}$ ； (2) ${\left( \sqrt[5]{x}\right) }^{3}$ ； (3) $\sqrt[7]{{x}^{3}{y}^{4}}$ ； (4) $\sqrt[7]{\frac{{x}^{3}}{{y}^{4}}}$ . 4. 用根式的形式表示下列各式(其中 $a > 0$ ): (1) ${a}^{\frac{2}{3}}$ ； (2) ${a}^{\frac{3}{4}}$ ； (3) ${a}^{-\frac{2}{5}}$ ； (4) ${a}^{-\frac{5}{2}}$ . 5. 求下列各式中 $x$ 的值(其中 $x > 0$ ): (1) ${x}^{3} = {27}$ ； (2) ${x}^{4} = {121}$ ； (3) ${x}^{\frac{3}{2}} = {1000}$ ； (4) ${x}^{-\frac{4}{3}} = \frac{16}{625}$ . 6. 用有理数指数幂的形式表示下列各式(其中 $a > 0, b > 0$ ): (1) ${a}^{\frac{1}{3}}{a}^{\frac{1}{4}}$ ； (2) $\sqrt[3]{a\sqrt{a}}$ ； (3) ${\left( {a}^{\frac{1}{4}}{b}^{-\frac{3}{8}}\right) }^{8}$ ； (4) ${\left( \frac{{a}^{-3}{b}^{4}}{\sqrt{b}}\right) }^{-\frac{1}{3}}$ . 7. 化简下列各式(其中 $a > 0, b > 0$ ): (1) $\frac{\left( {2{a}^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{2}}}\right) \left( {-6{a}^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{3}}}\right) }{3{a}^{\frac{1}{6}}{b}^{\frac{5}{6}}}$ ； (2) ${\left( {a}^{2 - \sqrt{3}}b\right) }^{2 + \sqrt{3}} \cdot {b}^{2 - \sqrt{3}}$ . #### B 组 1. 当 $x < 0$ 时,求 $\left| x\right| + \sqrt[6]{{x}^{6}} + 2\sqrt[3]{{x}^{3}}$ 的值. 2. 设 ${a}^{2x} = 2$ ,且 $a > 0$ . 求 $\frac{{a}^{3x} + {a}^{-{3x}}}{{a}^{x} + {a}^{-x}}$ 的值. 3. 设 $a > b > 0$ ,求证: ${a}^{a}{b}^{b} > {\left( ab\right) }^{\frac{a + b}{2}}$ . ## 3.2 对数 ### 1 对数的定义 ![bo_d4slo93ef24c73be0qag_7_250_704_199_222_0.jpg](images/bo_d4slo93ef24c73be0qag_7_250_704_199_222_0.jpg) 纳皮尔(J. Napier, 1550 - 1617), 苏格兰数学家, 对数的发明者. 想象这样一个场景, 某人在银行存入 1 万元, 若年利率为 5%，且按年计复利，经过多少年 1 万元存款才能连本带利超过 5 万元呢? 年利率为 5% 的意思是一年之后 1 万元变成 $1 \times \left( {1 + 5\% }\right) =$ 1.05 万元. 按年计复利的意思是每过一年自动将连本带利作为本金再次存入银行生息. 这样,经过 $n$ 年后,存款连本带利的总数应达到 ${1.05}^{n}$ 万元. 根据题意,我们要回答,当 $n$ 是多少时, $$ {1.05}^{n} > 5\text{ ? } $$ 实际上,如果能够找到一个数 $x$ ,使得 ${1.05}^{x} = 5$ ,那么 $n$ 就是大于 $x$ 的最小整数. 抽象一下上面的问题: 设 $a > 0, N > 0$ ,要找 $x$ ,使得 $$ {a}^{x} = N\text{ . } $$ ① 要讨论这个问题,首先要假设 $a > 0$ ,以保证对所有的 $x$ , ${a}^{x}$ 都有定义. 还要假设 $a \neq 1$ ,因为如果 $a = 1,{a}^{x}$ 就恒等于 1, 在 $N > 0$ 且 $N \neq 1$ 时,方程①无解; 而在 $N = 1$ 时,方程①有解但不唯一. 此外,在 $a > 0$ ,且 $a \neq 1$ 时,只要 $N > 0$ ,方程 ${a}^{x} = N$ 总有唯一的解. **定义** 在 $a > 0, a \neq 1$ ,且 $N > 0$ 的条件下,唯一满足 ${a}^{x} = N$ 的数 $x$ ,称为 $N$ 以 $a$ 为底的对数 (logarithm),并用符号 ${\log }_{a}N$ 表示,而 $N$ 称为真数. > 对数的底是不等于 1 的正数. > "log"是拉丁文 logarithmus 的缩写. 这样, 在讨论对数的时候, 我们总是假设底是不等于 1 的正数,并且假设真数是正数. 另外,由定义,对数 ${\log }_{a}N$ 这个记号表示满足方程 ${a}^{x} = N$ 的唯一确定的数 $x$ . 因此 $$ {a}^{{\log }_{a}N} = N. $$ ② 这个式子看起来很玄妙, 但不过是对数定义的另一个表达方式而已, 也充分说明对数运算是指数运算的逆运算. 由此恒等式可以推出,若两个正数 $M\text{ 、 }N$ 的对数 ${\log }_{a}M$ 与 ${\log }_{a}N$ 相等,则 $M = N$ ,即若同一个底的两个对数相等,则其真数必相等. 这是因为 $$ M = {a}^{{\log }_{a}M} = {a}^{{\log }_{a}N} = N. $$ 此外,因为 ${a}^{0} = 1,{a}^{1} = a$ ,易见 $$ {\log }_{a}1 = 0,{\log }_{a}a = 1. $$ 在一些特殊情况下, 可以写出对数的具体数值, 而在一般情况下, 估算对数的精确值极为困难, 需要查阅有关的对数表或利用计算器来得到对数的近似值. **例 1** 求下列各式的值: (1)log ${}_{2}8$ ； (2)lo ${\text{ g }}_{2}\sqrt{2}$ ; (3) ${\log }_{10}{0.000}$ 01. 解 (1) 因为 ${2}^{3} = 8$ ,即 3 是方程 ${2}^{x} = 8$ 的唯一解,所以由定义得 ${\log }_{2}8 = 3$ . (2)因为 ${2}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ ，所以 ${\log }_{2}\sqrt{2} = \frac{1}{2}$ . (3)因为 ${10}^{-5} = {0.00001}$ ，所以 ${\log }_{10}{0.00001} = - 5$ . 对数的底 $a\left( {a > 0\text{ 且 }a \neq 1}\right)$ 原则上可以任意选取,数学上常用两个特殊的底构成的对数. 以 10 为底的对数称为常用对数 (common logarithm). ${\log }_{10}N$ 通常记为 $\lg N$ . 在中学阶段,我们主要采用常用对数, 因为在日常生活中用的数字是十进制表示的. 以无理数 e(e的值约为 ${2.71828}\cdots$ ) 为底的对数称为自然对数 (natural logarithm). ${\log }_{\mathrm{e}}N$ 通常记为 $\ln N$ . 虽然自然对数在日常生活中不常使用，但在高等数学和其他科学领域中却十分有用， 大家将来学到高等数学时, 会很容易地看到这一点. **例 2** 求下列各式中 $x$ 的值: (1) ${\log }_{2}x = - 1$ ； (2) ${\log }_{\frac{1}{2}}x = 3$ ； (3) $\ln x = - 1$ . 解 (1) 由 ${\log }_{2}x = - 1$ ,得 $x = {2}^{-1} = \frac{1}{2}$ . (2)由 ${\log }_{\frac{1}{2}}x = 3$ ,得 $x = {\left( \frac{1}{2}\right) }^{3} = \frac{1}{{2}^{3}} = \frac{1}{8}$ . (3)由 $\ln x = - 1$ ，得 $x = {\mathrm{e}}^{-1} = \frac{1}{\mathrm{e}}$ . #### 练习 3.2(1) 1. 以下对数式中,与指数式 ${5}^{x} = 6$ 等价的是 ( ) A. ${\log }_{5}6 = x$ ; B. ${\log }_{5}x = 6$ ; C. ${\log }_{6}x = 5$ ; D. ${\log }_{x}6 = 5$ . 2. 求下列各式的值: (1)lo ${\text{ g }}_{5}$ 25; (2) ${\log }_{\frac{1}{3}}{27}$ ； (3) ${\log }_{4}\sqrt{2}$ ； (4) ${2}^{{\log }_{2}3}$ . 3. 求下列各式中 $x$ 的值: (1) ${\log }_{4}x = 2$ ； (2) ${\log }_{x}4 = 2$ . ### 2 对数的运算性质 引进对数的初衷是为了处理多位数的乘除及开方. 在本节中可以看到, 对数可以把乘除运算转变为加减运算, 并把乘方开方运算转化为乘除运算. 这为多位数的乘除及开方运算提供了一条简便的途径. 我们知道指数的运算性质: 对任意给定的正数 $a$ 及实数 $s$ 、 $t$ ,有 $$ {a}^{s + t} = {a}^{s}{a}^{t}, $$ 通俗地说, 指数可以把加减转化为乘除. 这个性质在对数中怎么体现呢? 在本节中,我们总假设 $a > 0$ ,且 $a \neq 1$ . 设 $M > 0, N > 0$ ,令 $b = {\log }_{a}M, c = {\log }_{a}N$ ,就有 ${a}^{b} = M$ , ${a}^{c} = N$ ,因此 $$ {MN} = {a}^{b}{a}^{c} = {a}^{b + c}. $$ 从而, 由对数的定义, 有 $$ {\log }_{a}\left( {MN}\right) = b + c = {\log }_{a}M + {\log }_{a}N. $$ 由此可得下述对数运算的基本性质. **对数性质 1** 当 $M > 0, N > 0$ 时, $$ {\log }_{a}\left( {MN}\right) = {\log }_{a}M + {\log }_{a}N. $$ 由性质 1 可以推出 $$ {\log }_{a}M = {\log }_{a}\left( {\frac{M}{N} \cdot N}\right) = {\log }_{a}\frac{M}{N} + {\log }_{a}N, $$ 从而得到 **对数性质 2** 当 $M > 0, N > 0$ 时, $$ {\log }_{a}\frac{M}{N} = {\log }_{a}M - {\log }_{a}N. $$ 对数性质 1 与 2 可以通俗地解释为: 对数把乘除运算转化为加减运算. 设 $N > 0$ ,令 $b = {\log }_{a}N$ ,则 $N = {a}^{b}$ . 由 ${\left( {a}^{b}\right) }^{c} = {a}^{bc}$ ,得 ${a}^{bc} = {N}^{c}$ ,从而由对数的定义, ${bc} = {\log }_{a}{N}^{c}$ . 所以,我们有 **对数性质 3** 当 $N > 0$ 时,对任何给定的实数 $c$ , $$ {\log }_{a}{N}^{c} = c{\log }_{a}N. $$ 特别地,当 $c$ 为大于 1 的正整数 $n$ 时,乘方转化为乘; 当 $c = \frac{1}{n}$ 时,开方转化为除. 这说明: 对数把乘方及开方分别转化为乘与除. **例 3** 求下列各式的值: (1)lo ${g}_{3}\left( {{9}^{4} \times {3}^{2}}\right)$ ; (2) ${\log }_{3}\sqrt[5]{9}$ ； (3) $2{\log }_{5}{10} + {\log }_{5}3 - {\log }_{5}{12}$ . 解 反复应用上述对数性质, 可得 (1) ${\log }_{3}\left( {{9}^{4} \times {3}^{2}}\right) = {\log }_{3}{9}^{4} + {\log }_{3}{3}^{2}$ $$ = 4{\log }_{3}9 + 2{\log }_{3}3 $$ $$ = 4{\log }_{3}{3}^{2} + 2 $$ $$ = 4 \times 2{\log }_{3}3 + 2 $$ $$ = 4 \times 2 + 2 $$ $$ = {10}\text{ . } $$ (2) ${\log }_{3}\sqrt[5]{9} = {\log }_{3}{3}^{\frac{2}{5}} = \frac{2}{5}{\log }_{3}3 = \frac{2}{5}$ . (3) $2{\log }_{5}{10} + {\log }_{5}3 - {\log }_{5}{12}$ $= {\log }_{5}\frac{{10}^{2} \times 3}{12}$ $= {\log }_{5}{25} = 2$ . > 对数化乘为加、 化除为减. > > 对数化乘方为乘、 化开方为除. **例 4** 已知 ${\log }_{5}2 = a,{5}^{b} = 3$ ,用 $a$ 及 $b$ 表示 ${\log }_{5}{12}$ . 解 因为 ${5}^{b} = 3$ ,所以 ${\log }_{5}3 = b$ . 因此 ${\log }_{5}{12} = {\log }_{5}\left( {{2}^{2} \times 3}\right) = 2{\log }_{5}2 + {\log }_{5}3 = {2a} + b$ . **例 5** 在有声世界, 声强级是表示声强度相对大小的指标. 其值 $y$ [单位: $\mathrm{{dB}}$ (分贝)] 定义为 $$ y = {10}\lg \frac{I}{{I}_{0}}. $$ 其中, $I$ 为声场中某点的声强度,其单位为 $\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^{2}$ (瓦/平方米), ${I}_{0} = {10}^{-{12}}\mathrm{\;W}/{\mathrm{m}}^{2}$ 为基准值. (1)如果 $I = {10}\mathrm{\;W}/{\mathrm{m}}^{2}$ ，求相应的声强级； (2)声强级为 ${60}\mathrm{\;{dB}}$ 时的声强度 ${I}_{60}$ 是声强级为 ${50}\mathrm{\;{dB}}$ 时的声强度 ${I}_{50}$ 的多少倍? ![bo_d4slo93ef24c73be0qag_11_209_877_269_208_0.jpg](images/bo_d4slo93ef24c73be0qag_11_209_877_269_208_0.jpg) > 一般地，正常交谈的声音是 ${60}\mathrm{{dB}}$ ,闹市区的声音是 ${80}\mathrm{\;{dB}}$ , 飞机起飞时的声音大约是 ${120}\mathrm{{dB}}$ . 解(1)当 $I = {10}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^{2}$ 时， $$ y = {10}\lg \frac{I}{{I}_{0}} = {10}\lg \frac{10}{{10}^{-{12}}} = {10}\lg {10}^{13} = {130}\left( \mathrm{\;{dB}}\right) . $$ 因此,当 $I = {10}\mathrm{\;W}/{\mathrm{m}}^{2}$ 时,相应的声强级为 ${130}\mathrm{\;{dB}}$ . (2)由题意，得 $$ \left\{ \begin{array}{l} {60} = {10}\lg \frac{{I}_{60}}{{I}_{0}}, \\ {50} = {10}\lg \frac{{I}_{50}}{{I}_{0}}. \end{array}\right. $$ 两式相减, 得 $$ {10} = {10}\left( {\lg \frac{{I}_{60}}{{I}_{0}} - \lg \frac{{I}_{50}}{{I}_{0}}}\right) = {10}\lg \frac{{I}_{60}}{{I}_{50}}, $$ 即 $\lg \frac{{I}_{60}}{{I}_{50}} = 1$ ,所以 $\frac{{I}_{60}}{{I}_{50}} = {10}$ . 因此，声强级为 ${60}\mathrm{\;{dB}}$ 时的声强度 ${I}_{60}$ 是声强级为 ${50}\mathrm{\;{dB}}$ 时的声强度 ${I}_{50}$ 的 10 倍. #### 练习 3.2(2) 1. 已知 $A = {\log }_{a}x, B = {\log }_{a}y\left( {a > 0\text{ 且 }a \neq 1}\right)$ . 用 $A$ 及 $B$ 表示下列各式: (1) ${\log }_{a}{xy}$ ; (2) ${\log }_{a}\frac{{x}^{2}}{\sqrt{y}}$ . 2. 求下列各式的值: (1) ${\log }_{15}3 + {\log }_{15}5$ ； (2) ${\log }_{2}\sqrt[3]{4}$ ； (3) ${\log }_{5}\sqrt{10} - \frac{1}{2}{\log }_{5}{250}$ . 3. 已知 ${\log }_{7}3 = a,{7}^{b} = 2$ . 用 $a$ 及 $b$ 表示 ${\log }_{7}{72}$ . ### 3 对数的换底 下面将介绍对数换底公式. 不同底的对数可以很方便地互相转换. 如前所述,对数的底 $a$ 总是为不等于 1 的正数. 设 $b > 0$ 且 $b \neq 1$ 为另一个底,且 $N > 0$ . 令 $c = {\log }_{b}N$ ,即 ${b}^{c} = N$ . 由对数性质 3,得 $$ {\log }_{a}N = {\log }_{a}{b}^{c} = c{\log }_{a}b = {\log }_{b}N \cdot {\log }_{a}b, $$ 因此得到 **对数换底公式** 当 $N > 0$ 时, $$ {\log }_{b}N = \frac{{\log }_{a}N}{{\log }_{a}b}. $$ 它把以 $b$ 为底的对数换成两个以 $a$ 为底的对数的商,其中 ${\log }_{a}b$ 只与两个底的值有关,而与真数 $N$ 无关. 例如，估算 ${\log }_{2}3$ ，可先应用换底公式，得 $$ {\log }_{2}3 = \frac{\lg 3}{\lg 2}. $$ 再利用计算器上的常用对数功能键,得 $\lg 2 \approx {0.3010},\lg 3 \approx {0.4771}$ . 因此 $$ {\log }_{2}3 \approx \frac{0.4771}{0.3010} \approx {1.5850}. $$ **例 6** 求下列各式的值: (1) ${\log }_{2}{25} \times {\log }_{3}4 \times {\log }_{5}9$ ； (2) $\frac{1}{{\log }_{2}3} + \frac{\lg {13.5}}{\lg 3}$ . 解 (1) 把所有的对数换成同一个底, 如都换成以 2 为底, 得到 $$ {\log }_{2}{25} \times {\log }_{3}4 \times {\log }_{5}9 = {\log }_{2}{5}^{2} \times {\log }_{3}{2}^{2} \times {\log }_{5}{3}^{2} $$ $$ = {\log }_{2}{5}^{2} \times \frac{{\log }_{2}{2}^{2}}{{\log }_{2}3} \times \frac{{\log }_{2}{3}^{2}}{{\log }_{2}5} $$ $$ = 2{\log }_{2}5 \times \frac{2{\log }_{2}2}{{\log }_{2}3} \times \frac{2{\log }_{2}3}{{\log }_{2}5} $$ $$ = 2 \times 2 \times 2 = 8\text{ . } $$ > 对数运算中, 用换底公式将不同的底换成同一个底是一种常用的方法. ( 2 )将所有的对数统一换成常用对数，因 ${\log }_{2}3 = \frac{\lg 3}{\lg 2}$ ，有 $$ \frac{1}{{\log }_{2}3} + \frac{\lg {13.5}}{\lg 3} = \frac{\lg 2}{\lg 3} + \frac{\lg {13.5}}{\lg 3} = \frac{\lg {27}}{\lg 3} = \frac{\lg {3}^{3}}{\lg 3} = 3. $$ **例 7** 设 $a > 0, a \neq 1$ ,且 $N > 0$ . 求证: 若 $m \neq 0$ ,则 ${\log }_{{a}^{m}}{N}^{n} = \frac{n}{m}{\log }_{a}N.$ 证明 应用换底公式将底换成 $a$ ,并利用 ${\log }_{a}a = 1$ ,得 $$ {\log }_{{a}^{m}}{N}^{n} = \frac{{\log }_{a}{N}^{n}}{{\log }_{a}{a}^{m}} = \frac{n{\log }_{a}N}{m}. $$ #### 练习 3.2(3) 1. 求下列各式的值: (1) ${\log }_{8}\frac{1}{4}$ ; (2) ${\log }_{a}b \cdot {\log }_{b}c \cdot {\log }_{c}a$ ( $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均为不等于 1 的正数)； (3) ${3}^{2 + {\log }_{9}4}$ ； (4) $\frac{{\log }_{5}2 \times {\log }_{7}9}{{\log }_{5}\frac{1}{3} \times {\log }_{7}2}$ . 2. 已知 ${\log }_{3}2 = a$ ,用 $a$ 表示 ${\log }_{2}{96}$ . 3. 设 $a\text{ 、 }b$ 是两个不等于 1 的正数,求证: ${\log }_{b}a = \frac{1}{{\log }_{a}b}$ . ### 习题 3.2 #### A 组 1. 把下列指数式写成对数式: (1) ${3}^{4} = {81}$ ； (2) ${5}^{-\frac{1}{2}} = x$ . 2. 将下列对数式写成指数式: (1) ${\log }_{\frac{1}{3}}{27} = - 3$ ； (2) ${\log }_{2}\frac{1}{8} = - 3$ . 3. 求下列各式的值: (1)lo ${\text{ g }}_{\text{ 3 }}$ 27 ; (2) ${\log }_{\frac{1}{2}}8$ ； (3) $\ln \frac{1}{\mathrm{e}} + \lg \sqrt{10}$ . 4. 求下列各式中 $x$ 的值: (1) ${\log }_{2}x = 5$ ； (2) ${\log }_{\sqrt{5}}\frac{1}{125} = x$ ; (3) ${\log }_{x}4 = \frac{1}{2}$ . 5. 求下列各式的值: (1) ${\log }_{2}\left( {2 \times \sqrt[3]{2}}\right)$ ； (2) ${\log }_{21}3 + {\log }_{21}7$ ； (3) ${\log }_{5}\sqrt{6} - \frac{1}{2}{\log }_{5}{150}$ ; (4) ${3}^{{\log }_{3}1} + {\log }_{2}{48} - {\log }_{2}3$ ； (5) $3{\log }_{3}\frac{3}{2} - {\log }_{3}\frac{7}{4} + \frac{1}{2}{\log }_{3}4 + {\log }_{3}7$ . 6. 已知 $A = {\log }_{a}x, B = {\log }_{a}y, C = {\log }_{a}z\left( {a > 0\text{ 且 }a \neq 1}\right)$ . 用 $A\text{ 、 }B$ 及 $C$ 表示下列各式: (1) ${\log }_{a}\left( {x{y}^{2}}\right)$ ； (2) ${\log }_{a}\frac{xy}{\sqrt{z}}$ ； (3) ${\log }_{a}\left( {{x}^{2}{y}^{2}}\right) + {\log }_{a}\left( {y\sqrt{x}}\right)$ . 7. 求下列各式的值: (1)lo ${g}_{4}2\sqrt{2}$ ； (2)lo ${\text{ g }}_{2}3 \times$ lo ${\text{ g }}_{9}2$ ； (3) $\frac{3}{{\log }_{2}6} + \frac{3}{{\log }_{3}6}$ ； (4) $\left( {{\log }_{4}3 + {\log }_{8}3}\right) \left( {{\log }_{3}2 + {\log }_{9}2}\right) + {\log }_{\frac{1}{2}}\sqrt[4]{32}$ . 8. 已知 $a = \lg 5$ ,用 $a$ 表示 $\lg 2$ 和 $\lg {20}$ . #### B 组 1. 求下列各式中 $x$ 的取值范围: (1) ${\log }_{2}\left( {1 - {3x}}\right)$ ; (2) ${\log }_{a}\left( {{x}^{2} + x}\right) \left( {a > 0\text{ 且 }a \neq 1}\right)$ . 2. 求下列各式的值: (1) ${\log }_{4}8 - {\log }_{\frac{1}{9}}3 - {\log }_{\sqrt{2}}4$ ； (2) ${2}^{{\log }_{6}5} \times {3}^{{\log }_{6}5}$ ； (3) ${\left( \lg {50}\right) }^{2} + \lg 2 \times \lg {50}^{2} + {\left( \lg 2\right) }^{2}$ . 3. 科学家以里氏震级来度量地震的强度,若设 $I$ 为地震时所散发出来的相对能量程度,则里氏震级度量 $r$ 可定义为 $r = \frac{2}{3}\lg I + 2$ . 求 7.8 级地震和 6.9 级地震的相对能量比值. (结果精确到个位) 4. 已知 $\lg 2 = a,\lg 3 = b$ . 用 $a$ 及 $b$ 表示 ${\log }_{2}3$ 及 ${\log }_{12}{25}$ . 5. 已知 ${5.4}^{x} = 3,{0.6}^{y} = 3$ . 求 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ 的值. 6. 设 $a\text{ 、 }b\text{ 、 }c\text{ 、 }d$ 均为正数,且 $a\text{ 、 }c$ 均不为 1 . 求证: $$ {\log }_{a}b \cdot {\log }_{c}d = {\log }_{a}d \cdot {\log }_{c}b. $$ ## 课后阅读 ### 用对数简化计算 让我们用一个例子说明怎样应用对数来简化计算. 假设我们要计算两个九位数的乘积 $$ {867432691} \times {345723901}. $$ 直接计算费时费力，怎样利用对数来简化计算呢? 先求此乘积以 10 为底的对数 $$ \lg \left( {{867432691} \times {345723901}}\right) \text{ . } $$ 由对数性质 1 , 它等于 lg 867432691+lg 345723901 . 要直接计算这些对数自然十分困难, 但是如果已编制了一个常用对数表, 可以查真数在 1 到 10 之间的常用对数(实用中的对数表正是如此)，就可以得知 $$ \lg {867432691} \approx \lg \left( {{8.6743} \times {10}^{8}}\right) = 8 + \lg {8.6743} \approx {8.9382}, $$ 其中 $\lg {8.6743} \approx {0.9382}$ 是查表得到的. 类似地,可得 $\lg {345723901} \approx {8.5387}$ . 这样所求乘积之对数为 $$ \lg {867432691} + \lg {345723901} \approx {8.9382} + {8.5387} = {17.4769} = {17} + {0.4769}. $$ 为了最终求得所需要的乘积 867432691X345723901,还需要查一个反对数表 (实际上是一个以 10 为底,而指数在 0 到 1 之间的指数表),就得到 ${0.4769} \approx \lg {2.9985}$ ,即 ${10}^{0.4769} \approx {2.9985}$ ,从而 $$ {17} + {0.4769} \approx {17} + \lg {2.9985} = \lg \left( {{2.9985} \times {10}^{17}}\right) , $$ 即原乘积的常用对数约等于 $\lg \left( {{2.9985} \times {10}^{17}}\right)$ . 由于同底的两个对数相等,其真数必相等, 就得到 $$ {867432691} \times {345723901} \approx {2.9985} \times {10}^{17}. $$ (现在，用普通的计算器可以得到更精确的值 $$ {867432691} \times {345723901} \approx {2.998922138} \times {10}^{17}) $$ 由上所述, 利用一个常用对数表及一个反对数表, 就可以通过转化为对数大大简化任何两个大数(多位数)的乘除及开方运算. 这正如恩格斯(F. Engles)所指出的: "这种从一个形态到另一个相反形态之转变, 并不是一种无聊的游戏, 它是数学科学最有力的模杆之一，如果没有它，今天就没法去进行一个较为复杂的计算. "(《自然辩证法》) 然而, 制作一个有实际用处的对数表是一项浩大的工程, 假如按步长 0.001 从 1 变化到 10 , 就有 1 万个对数要计算. 而要算一个数的对数使得精度达到四位小数, 也绝不是一件容易的事. 然而, 如果制成了对数表, 就可以一劳永逸地为其他人所用, 意义是十分重大的. ### 对数简史 对数是纳皮尔发明的, 其出现事先似乎毫无征兆, 但它绝不是从天上掉下来的, 而是源自当时在天文、航海及工程实践中迫切需要简化大量繁杂计算的实际需要. 纳皮尔从 1594 年到 1614 年花了二十年的时间造出了第一个对数表, 他说过: "要实际应用数学, 我看最大的障碍就是处理很大数字的相乘、相除，或是求取二次或三次方根， $\cdots \cdots$ 因此我开始思考，有没有什么方法可以去除这些障碍. "由于对数不仅能将乘除运算化为加减运算, 而且能将乘方、开方运算化为乘除运算, 一下子将人们从繁复的计算中解放出来, 无异于成倍地延长了科学家与工程技术人员的寿命. 德国天文学家开普勒(J. Kepler)是最早使用对数的人之一, 他成功地在行星轨道的计算中运用了对数. 法国数学家、天文学家拉普拉斯 (P.-S. Laplace) 曾说过:"对数的发明让天文学家的寿命都延长了，因为少做了很多苦工. "恩格斯曾经将解析几何、对数及微积分并列为最重要的数学方法. 在清代初年 (17 世纪中叶) 对数传到了中国，1653 年薛凤柞与波兰人穆尼阁 (J. N. Smogolehshi)共同编译出版了《比例对数表》一书，正式将对数介绍到中国，薛凤柞还将对数应用到历法计算中. 后来, 康熙皇帝组织编撰《数理精蕴》一书，在其下篇・卷三十八"对数比例"一节中，一开始就说:"对数比例乃西士若往·纳白尔(John Napier)所作， 以假数与真数对列成表，故名对数表. "这个假数，我们现在叫"对数"，而若往·纳白尔就是我们现在所述的纳皮尔. 在科学发展的历史中，极少有哪个抽象的数学概念，能像对数一样，一开始就很快受到了整个科学界的热烈欢迎. 对数的发明, 无疑是人类认识史上一个极大的飞跃与革命, 在人类文明的进程中起了划时代的作用. 自纳皮尔 1614 年发明对数以来, 一直到袖珍计算器的出现, 对数以及根据对数的原理所设计的一些计算仪器, 一直是进行复杂计算的有效方法和工具. 根据对数原理设计的计算仪器, 最著名的就是后来为科学家和工程师广泛使用的计算尺, 它在长达 350 年的时间中, 一直是科学家与工程师的忠实伴侣和有力工具. 自 20 世纪 70 年代初期袖珍计算器上市以后, 计算尺才失去市场, 并随着计算机的飞速发展而彻底退出了历史舞台，对数在计算中无可替代的地位也一去而不复返了. 但是, 对数的概念及对数函数的种种性质在众多数学分支及科学领域中至今一直发挥着重要的作用，并且有增无减. 对数从计算的有力工具向科学的重要方法的转化, 在数学的发展史上留下了浓墨重彩的篇章, 记录着人类不断走向文明进步的光辉历程. ![bo_d4slo93ef24c73be0qag_16_1041_1541_429_293_0.jpg](images/bo_d4slo93ef24c73be0qag_16_1041_1541_429_293_0.jpg) ## 内容提要 1. 指数幂的拓展:正整数指数幂、整数指数幂、有理数指数幂、实数指数幂. 2. 幂的运算性质:对任意给定的正数 $a$ 、 $b$ 及实数 $s$ 、 $t$ ， (1) ${a}^{s}{a}^{t} = {a}^{s + t}$ ； (2) ${\left( {a}^{s}\right) }^{t} = {a}^{st}$ ； (3) ${\left( ab\right) }^{t} = {a}^{t}{b}^{t}$ . 3. 对数的定义:当 $a$ 是不等于 1 的正数， $N > 0$ 时， $N$ 以 $a$ 为底的对数 ${\log }_{a}N$ 是满足 $$ {a}^{x} = N $$ 的唯一的数 $x$ . 4. 对数的基本性质: 设 $a$ 是不等于 1 的正数, $M$ 及 $N$ 是任意给定的正数, $c$ 是任意给定的实数. (1) ${\log }_{a}1 = 0$ ; (2) ${\log }_{a}a = 1$ ； (3) ${\log }_{a}\left( {MN}\right) = {\log }_{a}M + {\log }_{a}N$ ; (4) ${\log }_{a}\frac{M}{N} = {\log }_{a}M - {\log }_{a}N$ ; (5) ${\log }_{a}{N}^{c} = c{\log }_{a}N$ ; (6)(换底公式)如果 $b$ 也是一个不等于 1 的正数，那么 ${\log }_{b}N = \frac{{\log }_{a}N}{{\log }_{a}b}$ . ## 复习题 ### A 组 1. 填空题: (1)若 ${x}^{3} = 5$ ，则 $x =$ ___；若 ${3}^{x} = 5$ ，则 $x =$ ___. (2)将 $\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}}\left( {a > 0}\right)$ 化成有理数指数幂的形式为___. (3)若 ${\log }_{8}x = - \frac{2}{3}$ ，则 $x =$ ___. (4)若 ${\log }_{a}b \cdot {\log }_{5}a = 3\left( {a > 0\text{ 且 }a \neq 1}\right)$ ，则 $b =$ ___. 2. 选择题: (1)若 $\lg a$ 与 $\lg b$ 互为相反数，则有 ( ) A. $a + b = 0$ ; B. ${ab} = 1$ ; C. $\frac{a}{b} = 1$ ; D. 以上答案均不对. (2)设 $a > 0$ ，下列计算中正确的是 ( ) A. ${a}^{\frac{2}{3}} \cdot {a}^{\frac{3}{2}} = a$ ; B. ${a}^{\frac{2}{3}} \div {a}^{\frac{3}{2}} = a$ ; C. ${a}^{-4} \cdot {a}^{4} = 0$ ; D. ${\left( {a}^{\frac{2}{3}}\right) }^{\frac{3}{2}} = a$ . 3. 已知 ${10}^{\alpha } = 3,{10}^{\beta } = 4$ . 求 ${10}^{\alpha + \beta }$ 及 ${10}^{\alpha - \frac{\beta }{2}}$ 的值. 4. 求下列各式的值: (1) $\frac{1}{{4}^{x} + 1} + \frac{1}{{4}^{-x} + 1}$ ； (2) ${4}^{\sqrt{2} + 1} \times {2}^{3 - {2\sqrt{2}}} \times {8}^{-\frac{2}{3}}$ . 5. 已知 $\lg a < 1$ ,化简 $\sqrt{{\left( \lg a\right) }^{2} - \lg \frac{{a}^{2}}{10}}$ . 6. 已知 $m = {\log }_{2}{10}$ ,求 ${2}^{m} - m\lg 2 - 4$ 的值. ### B 组 1. 填空题: (1)若 ${4}^{x} = {2}^{-\frac{1}{2}},{4}^{y} = \sqrt[3]{32}$ ，则 ${2x} - {3y} =$ ___. (2)若 ${\log }_{3}\left( {{\log }_{4}x}\right) = 1$ ，则 $x =$ ___. (3)若 ${3}^{a} = {7}^{b} = {63}$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的值为___. 2. 已知 ${\log }_{18}9 = a,{18}^{b} = 5$ ,则 ${\log }_{36}{45}$ 等于 ( ) A. $\frac{a + b}{2 + a}$ ; B. $\frac{a + b}{2 - a}$ ; C. $\frac{a + b}{2a}$ ; D. $\frac{a + b}{{a}^{2}}$ . 3. 设 ${\log }_{0.2}a > 0,{\log }_{0.2}b > 0$ ,且 ${\log }_{0.2}a \cdot {\log }_{0.2}b = 1$ . 求 ${\log }_{0.2}\left( {ab}\right)$ 的最小值. 4. 化简 $\frac{\left( {1 + {2}^{x}}\right) \left( {1 + {2}^{2x}}\right) \left( {1 + {2}^{4x}}\right) \left( {1 + {2}^{8x}}\right) \left( {1 + {2}^{16x}}\right) }{1 - {2}^{32x}}$ (其中 $x \neq 0$ ). 5. 已知 $a > 1, b > 0$ . 求证: 对任意给定的实数 $k,{a}^{{2b} + k} - {a}^{b + k} > {a}^{b + k} - {a}^{k}$ . ## 拓展与思考 1. 甲、乙两人同时解关于 $x$ 的方程: ${\log }_{2}x + b + c{\log }_{x}2 = 0$ . 甲写错了常数 $b$ ,得两根 $\frac{1}{4}$ 及 $\frac{1}{8}$ ; 乙写错了常数 $c$ ,得两根 $\frac{1}{2}$ 及 64 . 求这个方程的真正根. 2. 已知 $a\text{ 、 }b$ 及 $c$ 是不为 1 的正数,且 $\lg a + \lg b + \lg c = 0$ . 求证: $$ {a}^{\frac{1}{\lg b} + \frac{1}{\lg c}} \cdot {b}^{\frac{1}{\lg c} + \frac{1}{\lg a}} \cdot {c}^{\frac{1}{\lg a} + \frac{1}{\lg b}} = \frac{1}{1000}. $$